Exercícios Resolvidos de Integrais Trigonométricas

Integrais trigonométricas

Calcule a integral do produto ou quociente de potenciais de funções trigonométricas.

tg 5 x sec 3 x d x

Passo 1

Opa temos uma integral bem bonita né? Só que não... Vamos começar escrevendo aquela raiz como potência.

sec 3 x = sec 3 / 2 x

tg 5 x sec 3 x d x = tg 5 x sec 3 / 2 x d x = tg 5 x sec - 3 / 2 x d x

Opa temos a nossa potência ali. Um dos casos que vimos na teoria é com a tangente elevado a um número ímpar. Não importa que a potência da secante seja essa parada meio louca.

Vamos lá

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Temos que começar separando tg x sec x

tg 5 x sec - 3 / 2 x d x = tg 5 - 1 x sec - 3 / 2 - 1 x tg x sec x d x

tg 4 x sec - 5 / 2 x tg x sec x d x

Vamos agora fazer

tg 2 x = sec 2 x - 1

A nossa integral vai ficar

sec 2 x - 1 2 sec - 5 / 2 x tg x sec x d x

Agora fazemos

v = sec x

Derivando

d v = sec x tg x d x

Vamos ter

v 2 - 1 2 v - 5 / 2 d v

Passo 3

Vamos agora resolver essa integral, primeiro abrindo esse polinômio

v 3 / 2 - 2 v - 1 / 2 + v - 5 / 2 d v

Agora vamos ter

v 3 / 2 - 2 v - 1 / 2 + v - 5 / 2 d v = v 5 / 2 5 / 2 - 2 v 1 / 2 1 / 2 + v - 3 / 2 - 3 / 2 + C = 2 5 v 5 / 2 - 4 v 1 / 2 - 2 3 v - 3 / 2 + C

Passo 4

Precisamos voltar para x

v = sec x

2 5 v 5 / 2 - 4 v 1 / 2 - 2 3 v - 3 / 2 + C = 2 5 sec 5 / 2 x - 4 sec 1 / 2 x - 2 3 sec - 3 / 2 x + C

Resposta

2 5 sec 5 / 2 x - 4 sec 1 / 2 x - 2 3 sec - 3 / 2 x + C

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