Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Gerais

  1. Calcule ∭ W   x d V , onde W é o tetraedro limitado pelos planos coordenados e pelo plano x + y 2 + z = 4 .

Passo 1

Cara, em exercícios como esse, sempre vamos começar desenhando a região W . Mas não se desespere porque basta seguir o enunciado do problema e ir limitando o sólido, saca?

Nesse caso aqui mesmo, o problema nos fala que o sólido está limitado pelos planos coordenados:

Mas o sólido também está delimitado por esse plano aqui x + y 2 + z = 4 . Não se preocupe se você não sabe desenhar esse plano direitinho, basta que saiba que ele, por ter seus termos positivos, tem esse aspecto aqui ohh

delimitando justamente o tetraedro do enunciado, pegou?:)

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Não trabalhamos com esse sólido dessa forma, por isso, a ideia aqui sempre será partir para a descrição dele. Nesse caso, cabe o T I P O   1 , onde temos o z variando de uma “base” até um “teto”

B a s e ≤ z ≤ T e t o       →

0 ≤ z ≤ P l a n o   V e r m e l h o

Como o plano vermelho é justamente o plano x + y 2 + z = 4 , basta que isolemos o z ...

x + y 2 + z = 4       →             z = 4 - x - y 2

0 ≤ z ≤ 4 - x - y 2

Quanto ao x e ao y , olhemos para a projeção do sólido no plano X Y . Bora?

Passo 3

Pow! Relaxa! Projetar esse sólido nesse plano nada mais é do que olhar para o sólido

mas dessa vez, de cima para baixo:

Note que essa reta em vermelho escuro ali, é justamente a reta em que o plano x + y 2 + z = 4 toca o pano X Y , ou o z = 0 , então...

x + y 2 + 0 = 4         →             x + y 2 = 4             →           y 2 = 4 - x

y = 8 - 2 x

Essa reta passa justamente por x = 4 quando y é 0 , como pode ser reparado.

Descrever x e y é apenas descrever essa região aí, que pode ser feita também utilizando a região T I P O   1 :

  • x varia em um intervalo numérico:
  • 0 ≤ x ≤ 4

  • y , entre funções:

R e t a   p r e t a ≤ y ≤ R e t a   v e r m e l h a

0 ≤ y ≤ 8 - 2 x

Passo 4

Bem, agora é só montar a integral tripla e correr para o abraço!

∭ W   x d V

Lembre-se que na integral mais interna, fica a que tem mais variável, no caso o z , seguido pelo y e depois o x :

∫ 0 4 ∫ 0 8 - 2 x ∫ 0 4 - x - y 2 x     d z d y d x

Começando com a integral de dentro...

∫ 0 4 ∫ 0 8 - 2 x ∫ 0 4 - x - y 2 x     d z d y d x

x é tomado como uma constante perante a integral em z , então...

∫ 0 4 ∫ 0 8 - 2 x x ∫ 0 4 - x - y 2   d z d y d x =

∫ 0 4 ∫ 0 8 - 2 x x z 0 4 - x - y 2 d y d x =

Substituindo os limites em z ...

∫ 0 4 ∫ 0 8 - 2 x x 4 - x - y 2 d y d x = ∫ 0 4 ∫ 0 8 - 2 x 4 x - x 2 - x y 2 d y d x =

E agora integrando em y (tomando o cuidado com x novamente, afinal ele ainda é considerado como uma constante)

∫ 0 4 ∫ 0 8 - 2 x 4 x - x 2 - x y 2 d y d x =

∫ 0 4 4 x y - x 2 y - x 2 y 2 2   0 8 - 2 x d x =

Substituindo em y

∫ 0 4 4 x 8 - 2 x - x 2 8 - 2 x - x 2 8 - 2 x 2 2   d x =

e dando aquela simplificada marota

∫ 0 4 16 x - 8 x 2 + x 3   d x =

16 x 2 2 - 8 x 3 3 + x 4 4 0 4 = 16 4 2 2 - 8 4 3 3 + 4 4 4 =

obtemos

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Resposta

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