Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Gerais

Integrais triplas

Determine a massa do sólido limitado por x + y + z ≤ 1 , x ≥ 0 , y ≥ 0 , z ≥ 0 , cuja densidade no ponto ( x , y , z ) é o produto das coordenadas.

Passo 1

O problema pede que calculemos a massa do sólido delimitado pelas superfícies acima, sabendo que sua densidade é dada por δ x , y , z . Nós sabemos que:

d m = ρ x , y , z d V

Onde d m é o diferencial de massa e d V o de volume. Integrando ambos os lados na região R em que o sólido está contido, temos que:

M = ∭ R   ρ x , y , z d V

M = ∭ W   x y z   d x d y d z

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Passo 2

Antes de tudo, vamos fazer um esboço da região para entender melhor o que está sendo pedido. Temos o plano x + y + z ≤ 1 (que é um plano qualquer) limitado por x ≥ 0 , y ≥ 0 e z ≥ 0 .

Para desenhar esse plano, podemos encontrar os pontos em que ele corta os eixos x , y e z , fazendo, respectivamente, y = z = 0 , x = z = 0 e x = y = 0 .

Para você ver mellhor, o sólido é esse aqui:

Passo 3

Agora vamos escrever matematicamente essa região. Vamos Escrevê-la como tipo I, limitada em z por funções e no plano x y por uma área D .

Na variável z , o sólido é limitado embaixo pelo plano z = 0 e em cima pelo plano z = 1 - x - y , então, podemos escrever:

W = x , y , z | 0 ≤ z ≤ 1 - x - y ; ( x , y ) ∈ D

Depois nos preocupamos com essa região D , ok?

Passo 4

Agora vamos levar isso aí para a integral

M = ∭ W   x y z   d x d y d z = ∬ D   ∫ 0 1 - x - y x y z d z d A

Isso nos dá

M = 1 2 ∬ D   x y z 2 0 1 - x - y d A

M = 1 2 ∬ D   x y 1 - x - y 2 d A

Passo 5

Agora vamos escrever matematicamente essa região D , que é a projeção do sólido no plano x y . Olhando o sólido de cima, temos isso aqui.

A região D de que estamos falando é esse triângulo aí. Para encontrar essa reta, basta fazer z = 0 na equação do plano:

x + y + z = 1

x + y = 1

y = 1 - x

Essa reta é onde o plano corta o plano x y . Então, podemos escrever D como região do tipo I, y entre funções e x entre números, temos:

0 ≤ y ≤ 1 - x

0 ≤ x ≤ 1

Levando para a integral:

M = 1 2 ∬ D   x y 1 - x - y 2 d A = 1 2 ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x x y 1 - x - y 2 d y d x

Passo 6

Agora vamos resolver isso aí.

M = 1 2 ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x x y 1 - x - y 2 d y d x

Vamos então fazer a substituição:

1 - x - y = u

- d y = d u

Lembre de que nessa integração x é visto como constante.

y = 0             →           u = 1 - x

y = 1 - x             →           u = 0

y = 1 - x - u

M = 1 2 ∫ 0 1 ∫ 1 - x 0 x ( 1 - x - u ) u 2 d u d x

M = 1 2 ∫ 0 1 ∫ 1 - x 0 u 2 x - x 2 - x u 3 d u d x

M = 1 2 ∫ 0 1 u 3 3 x - x 2 - x u 4 4 1 - x 0 d x

M = - 1 2 ∫ 0 1 ( 1 - x ) 3 3 x - x 2 + x ( 1 - x ) 4 4 d x

M = - 1 2 ∫ 0 1 x ( 1 - x ) 4 3 + x ( 1 - x ) 4 4 d x

M = - 7 24 ∫ 0 1 x ( 1 - x ) 4 d x

Agora fazemos a substituição

v = 1 - x

d v = - d x

x = 0           →           v = 1

x = 1           →           v = 0

x = 1 - v

M = 7 24 ∫ 1 0 1 - v v 4 d v

M = 7 24 ∫ 0 1 v 4 - v 5 d v

M = 7 24 v 5 5 - v 6 6 0 1

M = 7 24 1 5 - 1 6 = 7 24 × 30 = 7 720

Resposta

7 720

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