Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Gerais

Origem do Exercício

Encontrar o volume do tetraedro:

∫ 0 1 ∫ x 1 ∫ 0 y - x F x , y , z   d z   d y   d x

Considerar F x , y , z = 1 .

  1. 7 / 6
  2. 1 / 6
  3. 5 / 6
  4. 2 / 3
  5. 1 / 2

Passo 1

Por sorte o enunciado já deu a integral pronta para resolvermos. Vamos considerar F x , y , z = 1 e chamar essa integral de V :

V = ∫ 0 1 ∫ x 1 ∫ 0 y - x d z   d y   d x

Agora vamos começar a integrar.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A integral em relação a z vai seguir essa fórmula aqui:

∫ d z = z + C

Então:

V = ∫ 0 1 ∫ x 1 ∫ 0 y - x d z   d y   d x = ∫ 0 1 ∫ x 1 y - x - 0   d y d x

V = ∫ 0 1 ∫ x 1 y - x   d y d x

Passo 3

Agora vamos integrar isso em relação a y . Nesse caso, a integral indefinida é essa aqui:

∫ y - x d y = y 2 2 - x y

Então:

V = ∫ 0 1 ∫ x 1 y - x   d y d x = ∫ 0 1 1 2 2 - x 1 - x 2 2 - x 2 d x

V = ∫ 0 1 1 2 - x - - 1 2 x 2 = ∫ 0 1 1 2 x 2 - x + 1 2 d x

E agora podemos integrar em relação a x . A integral indefinida é:

V = ∫ 1 2 x 2 - x + 1 2     d x = x 3 6 - x 2 2 + x 2

Substituindo os limites de integração (de 0 até 1 ):

V = 1 3 6 - 1 2 2 + 1 2 - 0 3 6 - 0 2 2 + 0 2 = 1 6 - 1 2 + 1 2

V = 1 6

Resolvido!

Resposta

Letra (b).

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