Exercícios Resolvidos de Interpolação por Sistema Linear

Richard L. Burden e J. Douglas Faires, Numerical Analysis, 9ª ed. Brooks/Cole, Cengage Learning, pag 114, exercício 1 adaptada.

Para as funções f x abaixo, sejam x 0 = 0 , x 1 = 0.6 e x 2 = 0.9 . Encontre funções de interpolação de grau 1 e 2 para aproximar f 0.45 e encontre o erro absoluto.

a f x = cos x

b f x = 1 + x

c f x = ln x + 1

d f x = tan x

Passo 1

a Vamos encontrar o valor de f x nos pontos dados:

f x 0 = cos 0 = 1

f x 1 = cos 0.6 = 0.82534

f x 2 = cos 0.9 = 0.62161

Vamos usar os pontos 0.6 e 0 para a função de interpolação de grau 1 :

a 0 + a 1 0.6 = 0.82534

a 0 + a 1 0 = 1

Logo,

a 0 = 1

a 1 = - 0.2911

Então,

p 1 x = 1 - 0.2911 x

Calculando o valor em 0.45 :

p 1 0.45 = 0.86901

O erro absoluto é:

E A = p 1 0.45 - f 0.45 = 0.03144

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora usamos os 3 pontos para encontrarmos o polinômio interpolador de grau 2 :

a 0 + a 1 0 + a 2 0 2 = 1

a 0 + a 1 0.6 + a 2 0.6 2 = 0.82534

a 0 + a 1 0.9 + a 2 0.9 2 = 0.62161

Passando pra forma matricial e já aproveitando que a 0 = 1 da primeira equação.

0.6 0.36 0.9 0.81 - 0.17466 - 0.37839 L 2 L 2 - 1.5 L 1 0.6 0.36 0 0.27 - 0.17466 - 0.1164

a 2 = - 0.43111

0.6 a 1 = - 0.17466 - 0.36 - 0.43111

a 1 = - 0.03243

Então,

p 2 x = 1 - 0.03243 x - 0.43111 x 2

Calculando o valor em 0.45 :

p 2 0.45 = 0.89811

O erro absoluto é:

E A = p 2 0.45 - f 0.45 = 0.00234

Passo 3

Vamos encontrar o valor de f x nos pontos dados:

f x 0 = 1 + 0 = 1

f x 1 = 1 + 0.6 = 1.26491

f x 2 = 1 + 0.9 = 1.3784

Vamos usar os pontos 0.6 e 0 para a função de interpolação de grau 1 :

a 0 + a 1 0.6 = 1.26491

a 0 = 1

Logo,

a 0 = 1

a 1 = 0.44152

Então,

p 1 x = 1 + 0.44152 x

Calculando o valor em 0.45 :

p 1 0.45 = 1.19868

O erro absoluto é:

E A = p 1 0.45 - f 0.45 = 0.00548

Passo 4

Agora usamos os 3 pontos para encontrarmos o polinômio interpolador de grau 2 :

a 0 + a 1 0 + a 2 0 2 = 1

a 0 + a 1 0.6 + a 2 0.6 2 = 1.26491

a 0 + a 1 0.9 + a 2 0.9 2 = 1.3784

Passando pra forma matricial e já aproveitando que a 0 = 1 da primeira equação.

0.6 0.36 0.9 0.81 0.26491 0.3785 L 2 L 2 - 1.5 L 1 0.6 0.36 0 0.27 0.26491 - 0.01887

a 2 = - 0.06987

0.6 a 1 = 0.26491 - 0.36 - 0.06987

a 1 = 0.48344

Então,

p 2 x = 1 + 0.48344 x - 0.06987 x 2

Calculando o valor em 0.45 :

p 2 0.45 = 1.2034

O erro absoluto é:

E A = p 2 0.45 - f 0.45 = 7.6 × 10 - 4

Passo 5

Vamos encontrar o valor de f x nos pontos dados:

f x 0 = ln 1 + 0 = 0

f x 1 = ln 1 + 0.6 = 0.47

f x 2 = ln 1 + 0.9 = 0.64185

Vamos usar os pontos 0.6 e 0 para a função de interpolação de grau 1 :

a 0 + a 1 0.6 = 0.47

a 0 = 0

Logo,

a 0 = 0

a 1 = 0.78333

Então,

p 1 x = 0.78333 x

Calculando o valor em 0.45 :

p 1 0.45 = 0.3525

O erro absoluto é:

E A = p 1 0.45 - f 0.45 = 0.01906

Passo 6

Agora usamos os 3 pontos para encontrarmos o polinômio interpolador de grau 2 :

a 0 + a 1 0 + a 2 0 2 = 0

a 0 + a 1 0.6 + a 2 0.6 2 = 0.47

a 0 + a 1 0.9 + a 2 0.9 2 = 0.64185

Passando pra forma matricial e já aproveitando que a 0 = 0 da primeira equação.

0.6 0.36 0.9 0.81 0.47 0.64185 L 2 L 2 - 1.5 L 1 0.6 0.36 0 0.27 0.47 - 0.06315

a 2 = - 0.23389

0.6 a 1 = 0.47 - 0.36 - 0.23389

a 1 = 0.92367

Então,

p 2 x = 0.92367 x - 0.23389 x 2

Calculando o valor em 0.45 :

p 2 0.45 = 0.36829

O erro absoluto é:

E A = p 2 0.45 - f 0.45 = 0.00327

Passo 7

Vamos encontrar o valor de f x nos pontos dados:

f x 0 = tan 0 = 0

f x 1 = tan 0.6 = 0,6841 4

f x 2 = tan 0.9 = 1.26016

Vamos usar os pontos 0.6 e 0 para a função de interpolação de grau 1 :

a 0 + a 1 0.6 = 0,6841 4

a 0 = 0

Logo,

a 0 = 0

a 1 = 1.1 402

Então,

p 1 x = 1.1402 x

Calculando o valor em 0.45 :

p 1 0.45 = 0.5 131

O erro absoluto é:

E A = p 1 0.45 - f 0.45 = 0.03 00

Passo 8

Agora usamos os 3 pontos para encontrarmos o polinômio interpolador de grau 2 :

a 0 + a 1 0 + a 2 0 2 = 0

a 0 + a 1 0.6 + a 2 0.6 2 = 0,6841 4

a 0 + a 1 0.9 + a 2 0.9 2 = 1.26016

Passando pra forma matricial e já aproveitando que a 0 = 0 da primeira equação.

0.6 0.36 0.9 0.81 0,6841 4 1.26016 L 2 L 2 - 1.5 L 1 0.6 0.36 0 0.27 0.6 8 414 0 . 23395

a 2 = 0 . 86648

0.6 a 1 = 0.6 8 414 - 0.36 0 . 86648

a 1 = 0.6 2 034

Então,

p 2 x = 0.6 2 034 x + 0 . 86648 x 2

Calculando o valor em 0.45 :

p 2 0.45 = 0,45462

O erro absoluto é:

E A = p 2 0.45 - f 0.45 = 0 . 0284

Resposta

a p 1 x = 1 - 0.2911 x ; p 1 0.45 = 0.86901 ; E A = 0.03144

p 2 x = 1 - 0.03243 x - 0.43111 x 2 ; p 2 0.45 = 0.89811 ; E A = 0.00234

b p 1 x = 1 + 0.44152 x ; p 1 0.45 = 1.19868 ; E A = 0.00234

p 2 x = 1 + 0.48344 x - 0.06987 x 2 ; p 2 0.45 = 1.2034 ; E A = 7.6 × 10 - 4

c p 1 x = 0.78333 x ; p 1 0.45 = 0.3525 ; E A = 0.01906

p 2 x = 0.92367 x - 0.23389 x 2 ; p 2 0.45 = 0.36829 ; E A = 0.00327

d p 1 x = 1.1402 x ; p 1 0.45 = 0.5131 ; E A = 0.03 00

p 2 x = 0.62034 x + 0 . 86648 x 2 ; p 2 0.45 = 0,45462 ; E A = 0 . 0284

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