Exercícios Resolvidos de Intervalo de Confiança para Diferença entre Médias

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Enunciado

Uma máquina " A " produz peças circulares cujos diâmetros " D " devem obedecer uma determinada especificação em m m , e, uma outra máquina " B " foi encontrada no mercado. Quer-se saber se os diâmetros médios das duas máquinas são próximas, ou seja, se as máquinas produzem peças que podem ser consideradas estatisticamente idênticas em termos dos diâmetros das mesmas.

Tomou-se uma amostra de 14 peças da máquina " A " , e 16 peças da máquina " B " , tendo sido obtidas as seguintes estimativas amostrais:

M á q u i n a   A :   x A ¯ = 99 m m     s A = 10 m m

M á q u i n a   B :   x B ¯ = 94 m m     s B = 9 m m

  1. Encontre o intervalo de confiança para a diferença das médias das duas máquinas μ A - μ B ao nível de significância de 95 % e 99 % . Através deste resultado, explique se existe diferença das peças entre as duas máquinas.

Passo 1

Tá, a gente tem os dados das duas amostras e vai fazer um intervalo de confiança pra diferença entre as médias das amostras... um não, dois intervalos!

Independente do nível de significância, a cara do intervalo é a mesma:

I C = X ¯ - Y ¯ - d ; X ¯ - Y ¯ + d

Com:

d = t 1 - α 2 × s c 1 n + 1 m

s c = n - 1 s x 2 + m - 1 s y 2 n + m - 2

O que vai mudar pra cada caso, é o t 1 - α 2 , porque depende do nível de significância α .

Passo 2

Vamos calcular primeiro esse s c aí.

s c = n - 1 s x 2 + m - 1 s y 2 n + m - 2

n = 14     e     m = 16 são os números de elementos das amostras.

s c = 13 × 10 2 + 15 × 9 2 14 + 16 - 2

Jogando na calculadora...

s c ≅ 9,48

Passo 3

Agora vamos calcular o que depende do α .

O grau de liberdade é:

υ = m + n - 2 = 28

Pro intervalo de 95 % ..

1 - α = 0,95 → α = 0,05

t 1 - α 2 = t 0,975

t 28 ; 0,975 = 2,048

Pro intervalo de 99 % ...

1 - α = 0,99 → α = 0,01

t 1 - α 2 = t 0,995

t 28 ; 0,995 = 2,763

Passo 4

Agora vamos calcular d para as duas situações..

d = t 1 - α 2 × s c 1 n + 1 m

Pra 95 % ...

d = 2,048 × 9,48 1 14 + 1 16 ≅ 7,1

Para 99 % ...

d = 2,763 × 9,48 1 14 + 1 16 ≅ 9,6

Passo 5

Agora só fazer os dois intervalos e tirar nossas conclusões..

Para 95 % ...

I C = X ¯ - Y ¯ - d ; X ¯ - Y ¯ + d

I C = 99 - 94 - 7,1   ; 99 - 94 + 7,1

I C = - 2,1   ; 12,1

Agora presta atenção... como o zero estão contido no nosso intervalo, a gente pode considerar que as duas máquinas fazer peças estatisticamente idênticas. Entende porque? Se o zero está contido, ele é um dos possíveis resultados pra diferença entre as médias, e se essa diferença é zero, então as peças são idênticas, concorda?

Para 99 % ...

I C = X ¯ - Y ¯ - d ; X ¯ - Y ¯ + d

I C = 99 - 94 - 9,6   ; 99 - 94 + 9,6

I C = - 4,6   ; 14,6

A mesma ideia, o zero está contido de novo, então podemos dizer que as máquinas produzem peças estatisticamente idênticas.

Resposta

a s   m á q u i n a s   p r o d u z e m   p e ç a s   e s t a t i s t i c a m e n t e   i d ê n t i c a s ,   a o s   d o i s   n í v e i s   d e   s i g n i f i c â n c i a .

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