Exercícios Resolvidos de Introdução à EDO

PUCRIO, Cálculo 4 - MAT1154, G1 - 2013.1, Questão 3

Considere a equação diferencial y ' ' + p x y ' + q x y = 0 , com p x e q x funções reais.

Sabendo que y 1 x = x e y 2 x = x 2 são soluções da equação determine p x e q x .

Passo 1

Para acharmos p x e q x vamos substituir as duas soluções da EDO e ver o que temos, começando com y 1 x = x

y 1 = x

y 1 ' = 1

y 1 ' ' = 0

Substituindo na equação vamos ter

0 + p x . 1 + q x . x = 0

p x + x q x = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos agora substituir os valores de y 2 x = x 2

y 2 = x 2

y 2 ' = 2 x

y 2 ' ' = 2

Substituindo na equação vamos ter

2 + p x . 2 x + q x . x 2 = 0

2 + 2 x p x + x 2 q x = 0

Passo 3

Vamos ter o seguinte sistema

p x + x q x = 0 2 + 2 x p x + x 2 q x = 0

Multiplicando a primeira equação por - x vamos ter

- x p x - x 2 q x = 0

Somando com a segunda equação

2 + 2 x p x - x p x = 0

2 + x p x = 0

x p x = - 2

p x = - 2 x

Substituindo esse valor na primeira equação vamos ter

- 2 x + x q x = 0

x q x = 2 x

q x = 2 x 2

Vamos ter

p x = - 2 x

q x = 2 x 2

Resposta

p x = - 2 x

q x = 2 x 2

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