Exercícios Resolvidos de Introdução a Lei de Faraday

Lei de Faraday

Uma espira quadrada de lado L = 50   c m gira no sentido horário com velocidade angular ω = 10   r a d / s em torno do eixo z (que contém seu centro), numa região do espaço onde existe um campo magnético:

B → t = B 0   i ^

Onde B 0 = 500   m T .

A figura abaixo mostra uma vista superior da espira em rotação com velocidade ω . Observe que no instante t = 0 a espira está contida no plano y z .

Num certo instante de t o vetor de área A → faz um ângulo θ = ω . t com o eixo x .

a ) Calcule o fluxo magnético Φ M na espira quando θ = 0,1   r a d .

b ) Sabendo que a espira tem uma resistência elétrica de R = 10   Ω , calcule o valor da corrente induzida na espira no instante t = 0,3   s .

Suponha agora que o campo magnético comece a variar no tempo, de forma que:

B → t = B 0 cos ⁡ ω . t   i ^

Onde ω = 10   r a d / s é igual à velocidade angular de rotação da espira.

c ) Nestas condições. Calcule a frequência angular da corrente induzida.

[Sugestão: use a identidade trigonométrica sen ⁡ 2 α = 2 . sen ⁡ α . cos ⁡ α ].

Passo 1

a )    

Para determinar o fluxo magnético na espira, precisamos relembrar sua definição:

Φ M = B → ∙ A →

Φ M = B . A . cos ⁡ α

Onde α é o ângulo entre os vetores. Substituindo:

Φ M = B 0 . L 2 . cos ⁡ θ

Φ M = 500 × 10 - 3 .   0,50 2 . cos ⁡ 0,1

Lembrando que o ângulo está dado em radianos:

Φ M ≈ 0,124   W b

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b )

Para determinar o valor da corrente, vamos usar a linda Lady Farady!

ε i n d = - ∂ Φ M ∂ t

Como ε = R . i , subsutituindo:

i i n d = - 1 R . ∂ Φ M ∂ t

Para o fluxo, temos:

Φ M = B 0 . L 2 . cos ⁡ ω . t

Substituindo na equação da corrente e derivando em relação ao tempo:

i i n d = - 1 R . B 0 . L 2 - ω . sen ⁡ ω . t

Agora é só substituir os valores dados!

i i n d = - 1 10 . 500 × 10 - 3 . 0,5 2 - 10 . sen ⁡ 10 .   0,3

i i n d ≈ 17,6   m A

Passo 3

c )

Para determinar a frequência angular da corrente induzida, vamos fazer o mesmo mimimi do item anterior, só fica ligado que agora, o campo magnético mudou! Pela Lei de Faraday, temos:

ε i n d = - ∂ Φ M ∂ t

Como ε = R . i , subsutituindo:

i i n d = - 1 R . ∂ Φ M ∂ t

Para o novo fluxo, temos:

Φ M = B 0 . cos ⁡ ω . t . L 2 . cos ⁡ ω . t

Substituindo na equação da corrente:

i i n d = - 1 R . ∂ B 0 . L 2 . cos 2 ⁡ ω . t ∂ t

Derivando em relação ao tempo:

i i n d = - 1 R . B 0 . L 2 2 . cos ⁡ ω . t . ( - ω . sen ⁡ ( ω . t ) )

Usando a identidade trigonométrica sugerida, temos:

i i n d = 1 R . B 0 . L 2 . ω . sen ⁡ ( 2 . ω . t )

Portanto, a frequência angular da corrente induzida é 2 . ω = 20   r a d / s !

Resposta

a )   Φ M ≈ 0,124   W b

b )   i i n d ≈ 17,6   m A

c )   20   r a d / s

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