Exercícios Resolvidos de Introdução a Lei de Faraday

Lei de Faraday

O fluxo magnético através de uma espira circular de diâmetro d = 2 2   c m e resistência R = 10   Ω , obedece à seguinte equação:

ϕ B t = α t 3 + β t 2 + 1 γ

Sabendo que:

- Em t = 0   s , ϕ B = 2   W b ;

- Em t = 1   s , ϕ B = 10   W b e d B / d t = 3   T / s ;

A) Encontre os valores de α ,   β e γ com as unidades corretas e escreva a expressão final para o fluxo magnético (considere π = 3 e ln ⁡ 0,5 = - 0,7 ).

Suponha agora uma nova situação em que o campo magnético através da mesma espira obedeça à seguinte equação: B t = δ e - n t + 1 / 2 , onde δ e n são constantes a determinar.

B) Sabendo que nesta nova situação B = 2   m T em t = 0   s , e B = 1   m T em t = 1   s , encontre os valores das constantes δ e n com as respectivas unidades e escreva a expressão final para o campo magnético B e para f e m induzida.

Passo 1

A) Encontre os valores de α ,   β e γ com as unidades corretas e escreva a expressão final para o fluxo magnético (considere π = 3 e ln ⁡ 0,5 = - 0,7 ).

Vamos utilizar as 3 condições que o problema nos deu para encontrar os valores de α ,   β e γ , ok?

- Em t = 0   s , ϕ B = 2   W b ;

ϕ B 0 = 2   W b

1 γ = 2   W b

γ = 0,5   W b - 1

- Em t = 1   s , ϕ B = 10   W b ;

ϕ B 1 = 10   W b

α + β + 1 0,5 = 10 → α + β + 2 = 10

α + β = 8

- Em t = 1   s , d B / d t = 3   T / s ;

ϕ B t = α t 3 + β t 2 + 1 0,5

ϕ B t = α t 3 + β t 2 + 2

Por definição, como a área da espira é constante, podemos dizer que ϕ B t = B t . A , logo:

B t . A = α t 3 + β t 2 + 2

B t = 1 A α t 3 + β t 2 + 2

Derivando o campo magnético em função do tempo, teremos:

d B t d t = 1 A 3 α t 2 + 2 β t

Onde:

d B 1 d t = 3   T / s

A = π d 2 4 = 3 × 2 2 × 10 - 2 2 4 = 6 × 10 - 4 m 2

Portanto:

3 = 1 6 × 10 - 4 3 α + 2 β

3 α + 2 β = 18 × 10 - 4

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Beleza, nós já conseguimos determinar quem é γ , agora vamos ter que resolver o sistema abaixo pra determinar quem é α e β .

α + β = 8

3 α + 2 β = 18 × 10 - 4

Multiplicando a primeira linha por 3, teremos:

3 α + 3 β = 24

3 α + 2 β = 18 × 10 - 4

Fazendo a primeira equação menos a segunda, teremos:

β = 24 - 18 × 10 - 4 ≅ 23,99

Agora, multiplicando a primeira linha por 2 e, depois, fazendo a segunda equação menos a primeira, encontraremos:

α = - 15,99

Até aqui, beleza, mas quais são as unidades de α e β ?

Passo 3

Vamos voltar à equação original que o problema nos deu.

ϕ B t = α t 3 + β t 2 + 1 γ

Se os três termos estão se somando, eles necessariamente têm as mesmas unidades de medida que, nesse caso, são de fluxo magnético W b , então basta fazermos uma análise dimensional.

Para α , teremos:

α × t 3 = W b

α × s 3 = W b

α = W b / s 3

Para β , teremos:

β × t 2 = W b

β × s 2 = W b

β = W b / s 2

Finalmente:

α = - 15,99   W b / s 3

β = 23,99   W b / s 2

γ = 0,5   W b - 1

Pra finalizar:

ϕ B t = - 15,99 t 3 + 23,99 t 2 + 2

Agora sim, acabamos a letra a !

Passo 4

B) Sabendo que nesta nova situação B = 2   m T em t = 0   s , e B = 1   m T em t = 1   s , encontre os valores das constantes δ e n com as respectivas unidades e escreva a expressão final para o campo magnético B e para f e m induzida.

B t = δ e - n t + 1 / 2

Pra começar, vamos logo determinar as unidades de medida desses caras?

Como a função exponencial é adimensional, δ deve ter a mesma unidade de B t , logo:

δ = T

E como o expoente também deve ser algo adimensional:

n = s - 1

Bom, beleza... já podemos nos preocupar só em calcular os valores de δ e n .

A estratégia aqui é a mesma que usamos na letra a , vamos usar as condições que o problema nos deu para determinar os valores desses caras:

- B = 2   m T em t = 0   s ;

B 0 = 2 × 10 - 3 T

2 × 10 - 3 = δ e - 0,5

δ = 2 × 10 - 3 e - 0,5

δ = 3,3 × 10 - 3   T → δ = 3,3   m T

- B = 1   m T em t = 1   s ;

B 1 = 10 - 3   T

10 - 3 = 3,3 × 10 - 3 e - ( n + 1 ) / 2

e ( n + 1 ) / 2 = 3,3

n + 1 2 = ln ⁡ 3,3

n + 1 2 = 1,2

n = 1,4   s - 1

Finalmente:

B t = 3,3 e - 1,4 t + 1 / 2 ( m T )

Passo 5

A f e m   induzida é determinada a partir da lei de Faraday, dada por:

ε = - ∂ ϕ B d t

Como a área é constante, podemos dizer que:

ε = - A ∂ B t ∂ t = - A ∂ ∂ t δ e - n t + 1 2 = - A δ e - n t + 1 2 - n 2

ε = A δ n 2 e - n t + 1 2

Na letra a , já havíamos visto que A = 6 × 10 - 4 m 2 .

ε = 6 × 10 - 4 × 3,3 × 10 - 3 × 1,4 2 × e - 1,4 t + 1 / 2

ε = 1,386 × 10 - 6 × e - 1,4 t + 1 / 2

Resposta

a )

α = - 15,99   W b / s 3

β = 23,99   W b / s 2

γ = 0,5   W b - 1

ϕ B t = - 15,99 t 3 + 23,99 t 2 + 2

b )

δ = 3,3   m T

n = 1,4   s - 1

B t = 3,3 e - 1,4 t + 1 / 2 ( m T )

ε = 1,386 × 10 - 6 e - 1,4 t + 1 / 2

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