Exercícios Resolvidos de Introdução à Série de Potência

James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, São Paulo: CENGAGE learning, 2010, pp. 697, 9(adaptado)

Encontre uma representação em série de potências para a função

f x = 1 + x 1 - x

Passo 1

Para representar a função em séries de potências é bom tentar comparar a função com a série geométrica!

Então é bom escrever a função de forma que apareça um termo semelhante a:

1 1 - x

Logo, vamos ver se conseguimos escrever f ( x ) de outra forma!

f x = 1 + x 1 - x

Que pode ser rescrito como

f x = 1 + x 1 1 - x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O segundo cara entre parênteses é a série geométrica, certo?

1 1 - x = n = 0 x n

De forma que a gente fica com

f x = 1 + x n = 0 x n

Passo 3

Expandindo isso ficamos com

f x = n = 0 x n + x n = 0 x n = n = 0 x n + n = 0 x n + 1

Beleza! Mas dá pra simplificar mais um pouco! É só lembrar que

n = 0 x n = 1 + x + x 2 + x 3

E

x n = 0 x n = x + x 2 + x 3 +

De forma que x 1 , x 2 , x 3 , , vão aparecer duas vezes no nosso f ( x ) e o 1 vai aparecer só uma vez! Assim

f x = 1 + 2 n = 1 x n

Resposta

f x = 1 + 2 n = 1 x n

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