Exercícios Resolvidos de Introdução ao escoamento em canais abertos

Frank M. White, Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011.

Um canal retangular feito de tijolos com S 0 = 0,002 é projetado para conduzir 6,51   m 3 / s de água em escoamento uniforme. Discute-se se a largura do canal deverá ser de 1,22 ou 2,44 m. Qual o projeto requer menos tijolos? Em que percentual?

Passo 1

Fala jovem!

Então esse probleminha é só mudando um pouco a ordem das coisas que a gente tava vendo, ao invés de calcular a vazão calcularemos em outras palavras o raio hidráulico de cada situação.

Não é bem o raio mais uma das componentes que ele depende que é o perímetro molhado do canal.

Vamos então começar escrevendo esse raio hidráulico em função da largura e da profundidade:

R h = A P m = y b 2 y + b

Sendo y a profundidade e b a largura.

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Passo 2

A fórmula da vazão é

Q = V A = R h 2 / 3 S 0 1 / 2 n A

Q = y b 2 y + b 2 / 3 S 0 1 / 2 n y b

Se elevarmos a expressão em 3 / 2 , e rearrumarmos, terminamos com a seguinte expressão:

n Q S 0 1 / 2 3 / 2 = y b 2 y + b y b 3 / 2

2 y + b n Q S 0 1 / 2 3 / 2 = y b 5 / 2

y 5 / 2 = 2 y + b b 5 / 2 n Q S 0 1 / 2 3 / 2

Passo 3

Temos um problema, não existe um método analítico para resolver esse exercício, mas se você tem uma calculadoraé possível convergir para um valor. O que faremos é tentar colocar um valor de y que zere a expresão abaixo:

y 5 / 2 - 2 y + b b 5 2 n Q S 0 1 2 3 2 = 0

Para isso basta montar a expressão e ir por tentativa e erro mudando y , até chegar em um valor próximo a zero.

Calcularemos a profundidade y em ambos casos de b = 1,22   m e b = 2,44   m :

b = 1,22   m :

y ≈ 2,66   m

P m 1 = 2 y + b = 2 × 2,66 + 1,22

P m 1 = 6,54   m

b = 2,44   m :

y ≈ 1,18   m

P m 2 = 2 y + b = 2 × 1,18 + 2,44

P m 2 = 4,8   m

O projeto que menos requer tijolos é o de menor perímetro molhado. Logo é o segundo.

Que requer:

P m 2 P m 1 = 4,8 6,54 = 73 %

73 % da quantidade de tijolos do outor projeto.

Resposta

O segundo projeto requer menos tijolos, e requer 73 % do outro projeto ou 27 % a menos.

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