Exercícios Resolvidos de Introdução ao escoamento em canais abertos

Fox, McDonald, Pritchard. Introdução à Mecânica dos Fluidos, 8ª ed. Gen LTD Editora, 2014, pp. 776, ex. 11.43

Determine a profundidade de escoamento uniforme em um canal retangular com 2,5 m de largura com uma descarga de 3 m³/s. A inclinação é 0,0004 e o fator de rugosidade de Manning é 0,015.

Passo 1

Esse é um exercício de canal retangular é um pouquinho diferente do que vimos até agora, por que ao invés de querer saber a vazão, queremos saber a profundidade y.

Desenhando conseguimos entender melhor, então bora lá! Canal retangular

Beleza! Agora vamos organizar os dados do enunciado para saber quem já conhecemos e quem precisamos calcular

Largura: b   =   2 , 5   m  

Descarga ou vazão: Q   =   3 m 3 s

Inclinação ou declividade: S 0 = 0,0004  

Coeficiente de rugosidade de Manning: n = , 015  

Ótimo! O enunciado já deu bastante informação. Aliás, ao dizer o coeficiente de Manning, sabemos que podemos usar essa fórmula que vimos na teoria

V = R h 2 / 3 S 0 1 / 2 n

Só que o exercício não deu a velocidade, mas informou a vazão, que é Q   =   V . A . Então vamos transformar essa fórmula

Q = R h 2 / 3 S 0 1 / 2 n A

Como A   =   b y (área transversal do canal) e o raio hidráulico R h é

R h = A P m = b y P m

Sendo que o perímetro molhado é P m = 2 y + b , pois é a parte do canal que o fluido molha (conforme está destacado na figura)

Então a vazão fica assim:

Q = R h 2 / 3 S 0 1 / 2 n A

Q = b y 2 y + b 2 / 3 S 0 1 / 2 n b y

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Assim, nós conseguimos ter uma equação com variáveis conhecidas e apenas o y é desconhecido. Então vamos substituir juntos e ver no que dá

3 = 2 , 5 y 2 , 5 y + 2 , 5 2 / 3 0,000 4 1 / 2 0,015 2 , 5 y

Isolando as constantes

3 × 0,015 2,5 × 0,0004 1 / 2 = 2,5 y 2,5 y + 2,5 2 / 3 y

2,5 y 2,5 y + 2,5 2 / 3 y = 0,9

Eeeeita! E como a segura a barra que é resolver uma equação em que y está implícito? Esse termo aqui 2,5 y 2,5 y + 2,5 2 / 3 não está ajudando a gente a isolar o y...

Pera lá que o forninho não vai cair não! Temos algumas opções para resolver isso, podemos aplicar Newton Raphson, ou usar o Excel, ou aquela calculadora que resolve esse tipo de equação.

Ou a gente pode chutar um valor inicial para y, fazer essa conta aqui 2,5 y 2,5 y + 2,5 2 / 3 e comparar o qual próximo isso está de 0,9. Dependendo do resultado, vamos melhorando nosso chute, até chegar num valor bem próximo, que será a resposta :D

Para y = 1

2,5 y 2,5 y + 2,5 2 / 3 y = 0,6 76

Bem, 0,676 está distante de 0,9. Então vamos aumentar y.

Para y = 1,5

2,5 y 2,5 y + 2,5 2 / 3 y = 1 , 162

Agora, o resultado está menos distante de 0,9, porém, está maior que o desejado. Próximo y deve estar entre 1 e 1,5

Para y = 1,3

2,5 y 2,5 y + 2,5 2 / 3 y = 0 , 9623

Estamos próximos de 0,9, mas um pouco acima!

Para y = 1,2

2,5 y 2,5 y + 2,5 2 / 3 y = 0 , 8652

Opa! Sabemos que y está entre 1,2 e 1,3. Já é um intervalo pequeno

Para y = 1,25

2,5 y 2,5 y + 2,5 2 / 3 y = 0 , 914

Para ser um pouco mais preciso

Para y = 1,24

2,5 y 2,5 y + 2,5 2 / 3 y = 0,9 0 4

0,904 está bem próximo de 0,9! Então nós encontramos y, que é 1,24 m. :D

y = 0,904   m

Repara que esse exercício foi um pouco mais trabalhoso porque foi pedida a profundidade y e ela estava implícita na equação. Partiu fazer mais exercícios? Continua aí :D

Resposta

y = 0,904   m

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