Exercícios Resolvidos de Introdução aos Campos Vetoriais

Hamilton Luiz Guidorizzi, Um Curso de Cálculo – volume 3, 5ª edição, Rio de Janeiro: LTC, 2001, pp. 30-1.

Calcule o divergente do campo vetorial dado.

  1. v x , y = - y   i + x   j
  2. u x , y , z = x   i + y   j + z   k
  3. F x , y , z = x 2 - y 2   i + sin x 2 + y 2   j + arctan z   k
  4. F x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 arctan x 2 + y 2 + z 2   k

Passo 1

a)

A gente viu na teoria que o divergente é, simplesmente:

d i v   F = F

Ou seja, o produto escalar do operador com o campo vetorial. Onde, pra quem não lembra:

  = ( x , y , z )

Como nosso campo aqui é bidimensional, vamos usar só as duas primerias componentes e calcular as derivadas:

v = x , y F 1 , F 2 = - y x + x y = 0 + 0 = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b)

Vamos repetir a fórmula do item a):

d i v   F = F

Mas agora temos um capo vetorial tridimensional, então vamos usar o operador completo:

u = x , y , z F 1 , F 2 , F 3 = x x + y y + z z = 3

Algumas derivadas mais

Passo 3

c)

Parece que a questão complicou um pouco agora, mas a fórmula é sempre a mesma, não esqueça:

d i v   F = F = x , y , z F 1 , F 2 , F 3 = x 2 - y 2 x + sen x 2 + y 2 y + ( arctan z ) z

Algumas derivadas não tão triviais quanto as anteriores, mas nada que você não saiba calcular, né?

x 2 - y 2 x + sen x 2 + y 2 y + ( arctan z ) z = 2 x + 2 y cos x 2 + y 2 + 1 1 + z 2

Passo 4

d)

Pra terminar, temos um campo meio estranho, com uma componente em z só. Mas nada impede de aplicarmos a fórmula:

d i v   F = F = x , y , z F 1 , F 2 , F 3

= 0 x + 0 y + x 2 + y 2 + z 2 arctan x 2 + y 2 + z 2 z

Eita, agora sim uma derivada chata, mas vamos pela regra do produto e da cadeia:

x 2 + y 2 + z 2 arctan x 2 + y 2 + z 2 z

= 2 z arctan x 2 + y 2 + z 2 + x 2 + y 2 + z 2 2 z 1 1 + x 2 + y 2 + z 2 2

Ficou feio, mas as vezes é assim mesmo, fazer o que...

Resposta

  1. 0
  2. 3
  3. 2 x + 2 y cos x 2 + y 2 + 1 1 + z 2

2 z arctan x 2 + y 2 + z 2 + x 2 + y 2 + z 2 1 + x 2 + y 2 + z 2 2

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