Exercícios Resolvidos de Introdução aos Campos Vetoriais

PUCRIO, Cálculo 3 - MAT1163, G2 - 2012.2, Questão 3b

Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando. (aviso: resposta errada ou resposta certa sem justificativa receberá zero no item respectivo).

Se φ ( x , y , z ) é um campo escalar suave em R 3 e c = c 1 , c 2 , c 3 é um vetor constante, então

d i v φ   c = c . ∇ φ

Passo 1

Vamos, primeiro, trabalhar com o lado esquerdo dessa equação, achar d i v φ   c .

Considerando que o campo pode ser escrito como

φ x , y , z = φ 1 , φ 2 , φ 3

Nós sabemos disso aqui:

d i v φ = ∂ φ 1 ∂ x + ∂ φ 2 ∂ y + ∂ φ 3 ∂ z

Logo, se

φ   c = φ 1 c 1 , φ 2 c 2 , φ 3 c 3

Temos:

d i v φ   c = c 1 ∂ φ 1 ∂ x + c 2 ∂ φ 2 ∂ y + c 3 ∂ φ 3 ∂ z

Lembrando que c é um vetor constante.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, vamos ao outro lado da equação:

Como

∇ = ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z

Temos

∇ φ = ∂ φ 1 ∂ x , ∂ φ 2 ∂ y , ∂ φ 3 ∂ z

Isso nos dá que

c . ∇ φ = c 1 , c 2 , c 3 . ∂ φ 1 ∂ x , ∂ φ 2 ∂ y , ∂ φ 3 ∂ z = c 1 ∂ φ 1 ∂ x + c 2 ∂ φ 2 ∂ y + c 3 ∂ φ 3 ∂ z

Portanto, mostramos que o lado esquerdo da equação é, de fato, igual ao direito.

Resposta

Verdadeira.

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