Exercícios Resolvidos de Introdução aos Campos Vetoriais

PUCRIO, Cálculo 3 - MAT1163, G3 - 2014.1, Questão 1a

Diga se a afirmação seguinte é verdadeira ou falsa. Justifique.

Existe um campo de vetores F : R 3 R 3 de classe C tal que, para todo x , y , z R 3 se tem que

r o t F x , y , z = 2 z , z 2 + 2 y , 2 x + y z

Passo 1

Ele quer saber se existe um campo de vetores onde o rotacional é igual aquele que ele deu, vamos começar vendo como é o rotacional de uma função, vamos supor que temos um campo vetorial F , o rotacional vai ser

r o t F = i j k x y z F 1 F 2 F 3

r o t F = F 3 y - F 2 z , F 1 z - F 3 x , F 2 x - F 1 y

A ideia era ver se conseguimos achar esse campo vetorial, mas repara que temos uma classe infinita, então podemos derivar isso a vontade, vamos achar o divergente desse rotacional

d i v r o t F = 2 F 3 y x - 2 F 2 z x + 2 F 1 z y - 2 F 3 x y + 2 F 2 x z - 2 F 1 y z

A ordem de derivação não importa nesse momento, então esse divergente vai ser sempre 0 , repara que temos pares de derivadas iguais só mudando a ordem de integração.

Então o divergente sempre é 0 .

Vamos ver se o divergente desse rotacional que ele disse vai ser sempre 0

d i v r o t F = x 2 z + y z 2 + 2 y + z 2 x + y z

0 + 2 + y

Então o divergente do rotacional

d i v r o t F = 2 + y

Basta pegar um valor de y diferente de - 2 que esse cara não vai ser 0 , mas dada um campo vetorial o divergente deve ser 0 isso diz que essa afirmação é falsa.

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Resposta

Falsa

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