Exercícios Resolvidos de Introdução e Propriedades das Integrais

UFPE, Cálculo 1, 3º EE - 2017.1, Questão 1

Para a função f dada abaixo, esboce seu gráfico e em seguida calculo 0 4 f x d x .

f x = 1                                 s e   x [ 0 ,   1 ] x                                 s e   x [ 1,2 ] 2                                 s e   x 2 ,   3 - 2 x + 8     s e   x [ 3 ,   4 ]

Passo 1

O esboço do gráfico de f pode parecer difícil porque a função é dividida em muitas partes, mas na verdade é bem tranquilo, veja só:

O mais importante é dividir o eixo x nos intervalos dados pra saber até onde cada parte da função vai

Observe que quando a função se torna y = x ela é um reta crescente e quando se torna y = - 2 x + 8 ela é uma reta decrescente com zero da função em x = 4 . Portanto, esboçando o gráfico teremos o seguinte:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos montar a integral pedida e calcular. Observe que o intervalo de integração é de 0   a 4 . Como a função muda de lei de formação dentro desse intervalo, teremos que dividir a integral. Os intervalos em que a função está dividida são

f x = 1                                 s e   x [ 0 ,   1 ] x                                 s e   x [ 1,2 ] 2                                 s e   x 2 ,   3 - 2 x + 8     s e   x [ 3 ,   4 ]

Entao, temos que fazer uma integral para cada intervalo desses, assim. Assim, de 0 até 1 que é o primeiro intervalo, a integral fica:

0 1 f x d x = 0 1 1 d x

Para cada um dos intervalos então teremos a integral total de 0 até 4 :

0 4 f x d x = 0 1 f x d x + 1 2 f x d x + 2 3 f x d x + 3 4 f x d x

Substituindo f ( x ) pela lei de formação de cada intervalo e calculamos as integrais:

0 1 1 d x + 1 2 x d x + 2 3 2 d x + 3 4 - 2 x + 8 d x

[ x ] 0 1 + x 2 2 1 2 + [ 2 x ] 2 3 + [ - x 2 + 8 x ] 3 4

1 + 2 - 1 2 + 6 - 4 + 16 - 15 = 11 2

Resposta

0 4 f x d x = 11 2

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