Exercícios Resolvidos de Introdução e Propriedades das Integrais

USP, Cálculo 1, P3 - 2018, Questão ME02

ME02) O valor de - 1 1 x 3 + x 2018 sin 3 x   d x é

  1. 3 2
  2. 1 2
  3. - 3 2
  4. - 1 2
  5. 0

Passo 1

Eita, que integral complicada de resolver. E agora? Olha só, fica tranquilo que você não vai precisar resolver mesmo essa integral. Porque? Veja bem, vamos supor que ao invés de:

f x = x 3 + x 2018 sin 3 x

Tenhamos dentro da integral:

f x = x

Logo a integral daria:

- 1 1 x   d x = x 2 2 x = - 1 x = 1 = 1 2 2 - - 1 2 2 = 1 2 - 1 2 = 0

Eta, deu 0 ? Sim! Se fizemos a integral de uma função ímpar com limites de integração simétrica, vai ser como somar uma área pela sua negativa, então vai zerar. Uma boa primeira coisa pra tentar fazer então é ver se:

f x = x 3 + x 2018 sin 3 x

É ímpar.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pra uma função ser ímpar, tem que ser válido:

f x = - f - x

Pra achar f - x , fazemos:

f - x = - x 3 + - x 2018 sin 3 - x

Como:

- x 3 = - 1 x 3 = - 1 3 x 3 = - x 3

sin x = - sin - x   sin 3 x = - sin 3 - x   sin 3 - x = - sin 3 x

- x 2018 = x 2018

Reescrevemos a função para:

f - x = - x 3 - x 2018 sin 3 x

E fazendo - f - x , ficamos com:

- f - x = x 3 + x 2018 sin 3 x

Veja que, de fato:

f x = - f - x

x 3 + x 2018 sin 3 x = x 3 + x 2018 sin 3 x

Ufa, nossa função é ímpar! A integral vai dar então 0 ! A resposta certa vai ser a Letra E

Resposta

L e t r a   E

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