Exercícios Resolvidos de Introdução e Propriedades das Integrais

Elaboração própria

Sabendo que f ( x ) , g ( x ) e h ( t ) são contínuas para todos os reais e sendo válidas as expressões abaixo:

- 1 3 f ( x ) d x = 17 2

- 1 2 f ( x ) d x = 1 2

3 2 g ( x ) d x = 4

h t = 2 t 2 + 7 t + 15 f ( x ) d x

Calcule:

a)

2 3 2 f x + 3 g x d x

b)

h ( - 3 )

Passo 1

Partiu fazer? Partiu! Vai, analisa comigo: ele está dando um monte de integrais definidas com funções genéricas f x , g ( x ) e h t e pedindo o valor de integrais que envolvem essas integrais. Tá na cara que temos que usar propriedades de integrais definidas, você não acha, não?

Então vamos lá!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Na letra a ) , vamos começar usando as propriedades de integrais definidas que aprendemos para quebrar aquela expressão que ele está pedindo, porque aí vai ficar muito mais fácil entender o que você vai usar.

Olha o que ele está pedindo:

2 3 2 f x + 3 g x d x

Já sabemos que:

a b [ f x + g x ] d x = a b f ( x ) d x + a b g ( x ) d x

a b c f ( x ) d x = c   a b f x d x ,     onde   c   é qualquer constante

Portanto, podemos reescrever o que ele está pedindo como:

2 3 2 f x + 3 g x d x =   2 3 2 f x   d x +   2 3 3 g x d x  

= 2 2 3 f x d x + 3 2 3 g ( x )   d x

Passo 3

E agora? O que podemos fazer com isso?

Não temos 2 3 f x d x   nem 2 3 g ( x ) d x . O que eu faço? Socorro! Calma, não se desespere! Ainda existem outras propriedades de integrais que podemos usar.

Vamos começar pela g ( x ) , que está mais fácil de visualizar.

Observe que temos

3 2 g ( x ) d x = 4

Concorda que se invertemos os limites de integração, teremos 2 3 g ( x )   d x , que é o que nos interessa? E como fazemos isso? Lançamos mão daquela linda propriedade:

a b g ( x ) d x = - b a g x d x

Logo:

2 3 g ( x ) d x = - 3 2 g ( x ) d x

Como: 3 2 g ( x ) d x = 4

Temos:

2 3 g ( x ) d x = - 4

Passo 4

E quanto à f ( x ) ? Olha só as duas integrais que nós temos do enunciado:

- 1 3 f ( x ) d x = 17 2

- 1 2 f ( x ) d x = 1 2

A integral que nós queremos é 2 3 f ( x ) d x . Nós temos 2 no limite superior de integração de uma integral e 3 no limite superior da outra. Além disso, o -1 aparece como limite de integração nas duas integrais. Dá para sentir aquele gostinho de que é para usar aquela propriedade de juntar os limites de integração?

a b f ( x ) d x + b c f ( x ) d x = a c f ( x ) d x

Mas repara que, do jeito que as integrais estão, não dá para usar essa propriedade. Porque o número equivalente ao " b " , que é o limite de integração que tem que ser igual nas duas integrais, é limite inferior nas duas e, para usar essa propriedade, ele tem que ser limite inferior da primeira e limite superior da segunda.

Olha aí a propriedade de inverter os limites de integração nos salvando de novo!

a b f ( x ) d x = - b a f x d x   2 - 1 f x d x = - - 1 2 f x d x

2 - 1 f x d x = - 1 2

Agora, temos:

- 1 3 f ( x ) d x = 17 2

2 - 1 f x d x = - 1 2

E queremos:

2 3 f ( x ) d x

Podemos finalmente utilizar as propriedades de juntar os limites de integração:

2 3 f ( x ) d x = - 1 3 f ( x ) d x + 2 - 1 f x d x  

2 3 f x d x = 17 2 - 1 2

2 3 f x d x = 8

Passo 5

Passo 6

Agora que já sabemos 2 3 f x d x e 2 3 g x d x , podemos finalmente juntar tudo:

2 3 2 f x + 3 g x d x =   2 2 3 f x d x + 3 2 3 g ( x )   d x

2 3 2 f x + 3 g x d x = 2   .   8 + 3   .   ( - 4 )

2 3 2 f x + 3 g x d x = 16 - 12 = 4

Passo 7

Passo 8

Agora vamos à letra b )

Essa letra é meio estranha à primeira vista. O que acontece é que ele coloca uma função da variável t no limite da integral. Mas isso dá menos dor de cabeça do que parece. Observe que a variável dentro da integral é x . Aquela função de t em nada atrapalha a integral.

Ele nos dá h ( t ) . Quando ele pede h ( - 3 ) , simplesmente temos que substituir t por - 3 e aí teremos o limite superior da integral. A partir daí, resolvemos normalmente.

Passo 9

Fazendo t = - 3 :

t 2 + 7 t + 15 = - 3 2 + 7 - 3 + 15

= 9 - 21 + 15 = 9 - 6 = 3

Nesse caso, olha como fica a integral:

h - 3 = 2 3 f ( x ) d x

Opa, essa a gente já calculou, lembra? Depois de utilizar as propriedades de integrais na letra a ) , chegamos à conclusão de que essa integral valia 8 .

h - 3 = 2 3 f ( x ) d x = 8

Pronto!

Resposta

a)

2 3 2 f x + 3 g x d x = 4

b)

h - 3 = 8

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