Exercícios Resolvidos de Lei dos Senos e Lei dos Cossenos

UVA - Fernando Marinho - Lista 3 - 15

Uma construtora quer colocar uma ponte ligando os pontos A e C em lados diferentes de um rio. Os operários, estando em A , precisam calcular a distância entre esses pontos. Dispunham apenas de um teodolito. Do ponto A. foram até o ponto B , na mesma margem a 2 quilômetros de distância. Os ângulos que obtiveram são C Â B   =   75 º e C B ^ A   =   60 º . Determine a distância entre A e C .

Passo 1

Bem, a primeira coisa a fazer é esboçar o problema. É formado um triângulo na seguinte forma:

Sendo que C Â B é o ângulo no vértice A formado pelos lados compostos por C e B e C B ^ A é o ângulo no vértice B formado pelos lados compostos por C e A .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Chamando o ângulo em C de φ , Pela lei dos senos, temos que:

2 sen ⁡ φ = A C - sen ⁡ 60 º

E queremos achar A C - que é justamente a distância entre os pontos A e C . Não sabemos φ e A C - , mas, como a soma dos ângulos de um triângulo é 180 º , concluímos que:

φ + 60 º + 75 º = 180 º ⟹ φ = 45 º

E:

sen ⁡ φ = sen ⁡ 45 º = 2 2

Portanto:

2 sen ⁡ φ = A C - sen ⁡ 60 º ⟹ 4 2 = A C - 3 / 2 ⟹ 4 2 ⋅ 3 2 = A C -

Finalmente: A C - = 6 ≈ 2.45 k m

Resposta

A p r o x i m a d a m e n t e   2.4 5   k m

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