Exercícios Resolvidos de Lei dos Senos e Lei dos Cossenos

Elaboração Própria

Na figura abaixo A B = 5 d m , A D = 5 7 d m , D B C = 60 o e D C A = 90 o . Qual a medida de C D ?

Passo 1

Nessa nem precisamos esquematizar o problema, já o temos em mão. Vamos ignorar as unidades por enquanto e visualizar o que importa: A B = 5 A D = 5 7 D B C = 60 o D C A = 90 o

Marcando isso tudo na figura:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A partir desses valores, podemos encontrar os outros. Veja que:

D B C + A B D = 180 º

Logo:

A B D = 180 º - D B C = 180 - 60 = 120 º

Com esse ângulo, podemos usar a lei dos cossenos para achar D B :

5 7 2 = 5 2 + B D 2 - 2 5 B D cos 120 º

Pelo círculo trigonométrico, tiramos que:

cos 120 º = - cos 60 º = - 1 2

Assim:

25 7 = 25 + B D 2 + 5 B D B D 2 + 5 B D - 150 = 0

Tendo raízes:

B D = - 15 B D = 10

Mas a única que vale é a positiva, pois é uma medida.

Passo 3

Queremos chegar em C D , mas veja que o triângulo B C D é retângulo, então podemos usar as relações trigonométricas sem medo. Considerando o ângulo D B C = 60 o de referência, C D é o cateto oposto e B D é a hipotenusa. Assim sendo, podemos usar o seno: sen 60 º = C D 10 3 2 10 = C D C D = 5 3

Relembrando a unidade: C D = 5 3 d m

Resposta

C D = 5 3 d m

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