Exercícios Resolvidos de Leis de Kepler

UFF, Física I, P3 - 2017.2, Questão 11

[Questão 11]

A figura ao lado mostra um foguete de massa m que descreve uma órbita elíptica em torno da Terra, onde c é a distância da Terra em relação ao centro da elipse e a é o semi-eixo maior da elipse. A massa da Terra é M . A única força que atua sobre o foguete é a atração gravitacional do planeta. No ponto A, o foguete tem velocidade de módulo v A . Com base nessas informações, responda as questões 11, 12 e 13.

Usando os seus conhecimentos sobre torque e momento angular, determine o módulo da velocidade do foguete no ponto B .

(A) v A a + c / 2 a - c

(B) v A a - c / a + c

(C) v A

(D) v A a + c / a - c

(E) Não é possível calcular v B com os dados fornecidos.

Passo 1

Trajetória elíptica... queremos calcular a velocidade no ponto B .

Mas que coisa complicada de se fazer nessa trajetória estranha aí, né?

Mas, repara que ele deu uma dica, “usando seus conhecimentos de torque e momento angular”.

Como a gente pode usar esses conceitos?

Como o satélite está orbitando ao redor da terra, podemos usar ela como referencial para calcular o momento angular L do satélite.

Mas por que fazemos isso?

Simples, olha para a força gravitacional sobre o satélite:

A força gravitacional sempre aponta para a Terra.

Então, se considerarmos o eixo de rotação passando por ela, a força peso P → nunca gera torque, pois aponta na direção desse eixo de rotação:

τ P = 0

Ahhhh, agora temos um ponto importante...

Se o sistema está livre de torques externos, o momento angular L → se conserva:

L 0 = L

Então, considerando a Terra como referencial, podemos conservar o momento angular L do satélite, assim, podemos igualar os momentos angulares em quaisquer pontos da órbita, como por exemplo o ponto A e B:

L A = L B

Com isso, conseguimos relacionar as velocidades v A e v B .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos achar que são esses momentos angulares.

O momento angular L → de uma partícula é dado por:

L → = r → × p →

L → = r → × m v →

L → = m r → × v →

Temos os seguintes vetores r → e v → para os pontos A e B:

Como os vetores r → e v → são perpendiculares nos dois casos, temos que o módulo do momento angular L é:

L = m r v . s e n 90 °

L = m r v 1

Então, temos:

L A = m r A v A L B = m r B v B

Conservando o momento angular dos dois, temos:

L A = L B

m r A v A = m r B v B

r A v A = r B v B

Assim, a velocidade v B será:

v B = r A r B v A

Passo 3

Quem são esses raios r A e r B ?

A distância da Terra ao ponto A é:

r A = a + c

A distância da Terra ao ponto B será a distância do centro da elípse ao lado B a menos a distância do centro da elípse à Terra c :

r B = a - c

Passo 4

Substituindo esses valores, temos:

v B = r A r B v A

v B = a + c a - c v A

v B = v A a + c / a - c

Ficamos com a letra (D).

Resposta

Letra (D)

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