Exercícios Resolvidos de Leis de Kepler

UFF, Física I, P3 - 2017.2, Questão 13

[Questão 13]

A figura ao lado mostra um foguete de massa m que descreve uma órbita elíptica em torno da Terra, onde c é a distância da Terra em relação ao centro da elipse e a é o semi-eixo maior da elipse. A massa da Terra é M . A única força que atua sobre o foguete é a atração gravitacional do planeta. No ponto A, o foguete tem velocidade de módulo v A . Com base nessas informações, responda as questões 11, 12 e 13.

Ainda sobre a situação ilustrada na figura 1, marque a alternativa correta.

(A) A energia potencial gravitacional do foguete no ponto A é maior do que a energia potencial gravitacional do foguete no ponto B.

(B) A energia cinética do foguete no ponto A é maior do que a energia cinética do foguete no ponto B.

(C) A energia mecânica do foguete no ponto A é menor do que a energia mecânica do foguete no ponto B.

(D)O foguete precisa manter seus propulsores constantemente acionados para permanecer em uma órbita elíptica.

(E) O tempo que o foguete demora para viajar do ponto A ao ponto C é igual ao tempo que ele demora para ir do ponto C ao ponto B.

Passo 1

A energia potencial gravitacional é dada por:

U g = - G M m r

Quanto menor a distância r , maior em módulo é a fração G M m / r , porém com o sinal de negativo alí na frente, essa energia fica cada vez mais negativa quando se aproxima da Terra.

Ou seja, quanto mais próximo da Terra o foguete estiver, menor será sua energia potencial gravitacional U g .

Então, a energia potencial no ponto B será menor que no ponto A, já que esse ponto está mais próximo da Terra.

Então, a alternativa (A) está correta.

Vamos ver o porque das outras estarem erradas...

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Passo 2

(B) A energia cinética do foguete no ponto A é maior do que a energia cinética do foguete no ponto B.

(C) A energia mecânica do foguete no ponto A é menor do que a energia mecânica do foguete no ponto B.

Vamos atacar as duas junto.

Como a única força que atua sobre o foguete é uma força conservativa (força peso), essa força não retira energia do sistema, apenas converte energia potencial gravitacional em energia cinética e vice-versa.

Portanto, a alternativa (C) está incorreta, pois a energia mecânica se conserva.

Visto que a energia mecânica é a soma de:

E m = U + K

No ponto A, como a energia potencial U é maior que em B, a energia cinética restante K em A deve ser menor que em B.

Então, a alternativa (B) também está incorreta.

Passo 3

(D)O foguete precisa manter seus propulsores constantemente acionados para permanecer em uma órbita elíptica.

Isso está incorreto, pois a força gravitacional é capaz de manter o foguete em órbita sem nenhuma outra força externa atuando sobre ele.

Passo 4

(E) O tempo que o foguete demora para viajar do ponto A ao ponto C é igual ao tempo que ele demora para ir do ponto C ao ponto B.

Existe uma lei de Kepler que diz que um corpo em órbita elíptica demora um mesmo intervalo de tempo ∆ t para percorrer um arco que forma uma área A :

Como a área A A C do arco AC é maior que a área A C B do arco CB, o tempo também será maior.

Podemos pensar também que os comprimentos das duas trajetórias são os mesmos, porém o foguete percorre esse caminho com uma velocidade cada vez maior quando se aproxima da Terra.

Então, como o foguete percorre o trecho CB com uma velocidade maior que no trecho AC, o tempo para andar BC será menor.

Resposta

Letra (A)

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