Exercícios Resolvidos de Leis de Kepler

UFF, Física I, Listas - Lista 13 - Exercícios, Questão B

(B)A Terra está mais próxima do Sol em novembro do que em maio. Em qual desses meses a velocidade da Terra é maior? Explique.

Passo 1

Vamos lá...

A órbita circular da Terra:

OPAAAA, calma lá!

Na verdade essa órbita circular da Terra é uma aproximação que usamos às vezes, porém a Terra apresenta uma órbita elíptica:

E qual a diferença quanto à velocidade da Terra?

Bom, na órbita circular a velocidade da Terra seria constante, já que a força gravitacional atua como força centrípeta, não alterando o módulo da velocidade em si.

Já na órbita elíptica isso não acontece, a velocidade da Terra muda a todo instante.

Mas como vamos saber as posições na qual a Terra tem velocidade maior ou menor?

Podemos pensar nas Leis de Kepler.

Pela 2° Lei de Kepler, sabemos que a Terra varre áreas A iguais em tempos ∆ t iguais:

Po, se essas duas áreas em azul são iguais a A , o comprimento do arco l 1 deve ser muito maior que o comprimento do arco l 2 :

l 1 > l 2

Mas aí que entra a sagacidade...

Se a lei de Kepler diz que a Terra percorreu os dois caminhos l 1 , l 2 em intervalos de tempo iguais ∆ t :

v m 1 = l 1 ∆ t

v m 2 = l 2 ∆ t

Então, a Terra tem uma velocidade v maior quando percorre o trecho l 1 do que quando percorre o trecho l 2 :

v m 1 > v m 2

Ah, então se quando a Terra percorre l 1 ela está mais próxima do Sol, temos que a velocidade v 1 em novembro será maior que a velocidade v 2 em maio.

Thats it! Acho que a partir dessa lei é possível visualizar um pouco mais a situação, porém, uma outra possibilidade é partir do princípio que o sistema Sol-Terra é um sistema isolado de forças externas, então o momento angular L se conserva:

L 1 = L 2

Substituindo os momentos angulares por:

L = m r v

Temos que:

M R 1 v 1 = M R 2 v 2

v 1 = R 2 R 1 v 2

Opaa, então a velocidade da Terra é inversamente proporcional ao seu raio R .

Assim, temos que nos meses de novembro N e maio M :

v N = R M R N v M

Logo, se em novembro a Terra está mais próxima do Sol, seu raio é menor em novembro que em maio:

R N < R M

Como a razão:

R M R N > 1

Temos que a velocidade v N em novembro será maior que a velocidade v M em maio:

v N > v M

Assim, concluimos que quanto mais próxima do Sol a Terra estiver, maior será sua velocidade.

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Resposta

Novembro, pois a velocidade da Terra é inversamente proporcional à sua distância ao Sol.

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