Exercícios Resolvidos de Leis de Ohm

USP, P2 2010, Questão 2

Um resistor com resistividade ρ , tem a forma de um cilindro oco de comprimento L e raios a e b . Calcule a resistência R e o módulo do vetor densidade de corrente J no interior do resistor nos casos em que uma diferença de potencial V é aplicada:

a ) entre as bases do cilindro.

b ) entre as superfícies interna de raio a e a externa de raio b .

Passo 1

a ) entre as bases do cilindro.

Por definição, a resistência de um resistor é dada por:

R = ρ L A

Nesse caro, A será a área da coroa circular de raios a e b .

A = π b 2 - a 2

Portanto:

R = ρ L π b 2 - a 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Por definição, a densidade de corrente é dada por:

J = I A

Usando a definição de resistência, podemos dizer que:

J = V / R A J = V R A

Lembrando que:

R = ρ L A R A = ρ L

Logo:

J = V ρ L

Passo 3

b ) entre as superfícies interna de raio a e a externa de raio b .

A ideia aqui é bem parecida com o que fizemos antes, a diferença é que, como a corrente agora flui radialmente, vamos ter que mudar a forma de calcular a resistência.

Vamos começar dividindo o cilindro em camadas cilíndricas de largura d r . Cada cilindro terá resistência d R , dada por:

d R = ρ   d r A r

A r agora será a área lateral do cilindro.

A r = 2 π r L

Logo:

d R = ρ   d r 2 π r L

Pra encontrar uma expressão pra R , precisamos integrar esse cara, onde a < r < b :

R = ρ 2 π L   a b d r r

R = ρ 2 π L ln b a

Passo 4

Pra calcular a densidade de corrente, vamos usar a mesma ideia que usamos anteriormente:

J = I A

J = V / R A J = V R A

Lembrando que:

R = ρ L A R A = ρ L

Logo:

J = V ρ L

Resposta

a )

R = ρ L π b 2 - a 2

J = V ρ L

b )

R = ρ 2 π L ln b a

J = V ρ L

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