Exercícios Resolvidos de Limite com Mudança de Variável para Funções de Várias Variáveis

UNICAMP, Cálculo 2, P1 - 2018.1, Questão 3b

Determine o limite:

lim x , y 0,0 e - x 2 - y 2 - 1 x 2 + y 2

Passo 1

Se tentarmos a simples substituição, vamos chegar na indeterminação

lim x , y 0,0 e - 0 2 - 0 2 - 1 0 2 + 0 2 = 0 0

Precisamos de uma forma de sair dessa indeterminação.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Podemos reescrever a expressão desse limite colocando o sinal de menos em evidencia no expoente da exponencial e ficamos com

e - ( x 2 + y 2 ) - 1 x 2 + y 2

E agora, repare, temos a expressão x 2 + y 2 se repetindo no numerador e no denominador.

Vamos tentar fazer uma mudança de variável então.

Vamos chamar

u = x 2 + y 2

E, quando x , y ( 0,0 ) , temos

u 0 2 + 0 2 = 0

Nesse caso, ficamos com

lim u 0 e - u - 1 u

Passo 3

Agora, temos um limite de uma variável só, a variável u . E, portanto, podemos usar L’Hospital para nos salvar!!

Aplicando essa regra maravilhosa, teremos

lim u 0 - e - u 1

E esse limite vale

lim u 0 - e - u 1 = - e 0 = - 1

Assim, temos que

lim x , y 0,0 e - x 2 - y 2 - 1 x 2 + y 2 = - 1

Resposta

lim x , y 0,0 e - x 2 - y 2 - 1 x 2 + y 2 = - 1

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