Exercícios Resolvidos de Limites Laterais e Existência do Limite

UFF, Cálculo IA, Listas GMA - Lista 3, Questão 3

Dê um exemplo no qual lim x 0 f ( x ) existe, mas l i m x 0 f x não existe.

Passo 1

Bom, queremos uma função cujo limite no ponto x = 0 não exista, mas que se for aplicado o módulo esse limite passa existir. Vamos pensar juntos, o que o módulo faz? Ele torna função sempre positiva. Opa! Acho que já saquei. Lembra que para o limite em um ponto existir os limites laterais nesse ponto devem ser iguais? Então, se houver uma função cujos limites laterais em x = 0 tiverem sinais contrários, esse limite não vai existir. Mas se essa função estiver dentro de um módulo, os limites laterais passarão a ter o mesmo sinal (positivo) e o limite passará a existir. Pronto, matamos a charada, agora é só pensar em uma função desse tipo.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Um exemplo é a função

f x = x x

Observe que

l i m x 0 - x x = - 1

l i m x 0 + x x = 1

E por isso

l i m x 0 x x   n ã o   e x i s t e

Agora olha como fica se botarmos o módulo.

l i m x 0 - x x = 1

l i m x 0 + x x = 1

E por isso

l i m x 0 x x = 1

Resposta

f x = x x

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