Exercícios Resolvidos de Limites Laterais e Existência do Limite

UNICAMP, Cálculo 1, P1 - 2017.1 - 5ª Noturno, Questão 2b

Sem usar a regra de L’Hospital, calcule o limite ou prove que não existe:

lim 1 x ( x 2 - 1 ) x 2 - 1

Passo 1

Substituindo o x por 1 no limite vamos chegar à indeterminação 0 0 , então temos que mexer nele pra sair dessa furada.

Como ele possui módulo, a primeira coisa a se fazer é tentar tirar esse módulo, escrevendo ele de uma maneira equivalente. Observe que:

  • Se x > 1   então x 2   - 1 > 0 e a expressão fica:
  • x ( x 2 - 1 ) x 2 - 1

  • Se 0 < x < 1 então x 2   - 1 < 0 e a expressão fica:

x ( x 2 - 1 ) - ( x 2 - 1 )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora é só resolver o limite para cada uma das expressões.

Só não podemos esquecer que para a primeira expressão foi dada a condição x > 1 e para a segunda foi dada a condição 0 < x < 1 , então, na verdade, vamos ter que fazer os limites LATERAIS! Olha só como vai ficar:

lim   1 + x ( x 2 - 1 ) x 2 - 1 = l i m x     1 + x = 1  

E

l i m x     1 - x ( x 2 - 1 ) - ( x 2 - 1 ) = l i m x     1 - x - 1 =   l i m x     1 - - x =   - 1  

E aí, já que os limites laterais são diferentes, o limite não existe!

Resposta

O limite não existe.

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