Exercícios Resolvidos de Matrizes de Formas Bilineares

Ver Teoria

Enunciado

Sejam u = ( x 1 , x 2 , ) , v = ( y 1 , y 2 , ) e f u , v = - 2 x 1 y 1 + 6 x 1 y 2 + x 2 y 1 - 4 x 2 y 2 Determine a matriz de f em relação à base B = { 0,1 , - 1 , - 1 } e C = { 1,0 , ( 1,1 )

Passo 1

A ideia agora é montar a matriz de f em relação à bases diferentes da canônica. Pra isso vamos usar a fórmula que vimos lá na teoria f B , C = I d C a n ← B T f C a n , C a n I d C a n ← C

Então, primeiro vamos achar a matriz na base canônica e depois usar as matrizes de mudança de base.

Passo 2

A essa altura a matriz na base canônica é bem direta de se achar né. Mas detalhando o procedimento fica assim:

  • f 1,0 , 1,0 = - 2
  • f 1,0 , 0,1 = 6
  • f 0,1 , 1,0 = 1
  • f 0,1 , 0,1 = - 4

Jogando os números daqui na matriz temos:

f C a n , C a n = - 2 6 1 - 4

Passo 3

Agora achamos a matriz de mudança de base I d C a n ← B . Lembrando que é só colocar os vetores de B   na vertical ela fica assim:

I d C a n ← B = 0 - 1 1 - 1

E:

I d C a n ← B T =       0 1 - 1 - 1

Agora pra C :

I d C a n ← C =   1 1 0 1

Jogando na fórmula vai ficar:

f B , C =       0       1 - 1 - 1 - 2 6 1 - 4   1 1 0 1 =     1 - 4 1 - 2   1 1 0 1

f B , C =     1 - 3 1 - 1

Resposta

f B , C =     1 - 3 1 - 1

Exercícios de Livros Relacionados

Em 2b) você deve ter mostrado que todo produto interno é uma forma bilinear. A recíproca é verdadeira?
Qual é a matriz M 2 × 2 associada à forma bilinear de R 2 × R 2 → R que dá o produto interno usual de R 2 ?
Seja Q x , y = x 2 + 12 x y - 4 y 2 . Determine uma base β tal que v β = x 1 y 1eQ v = a x 1 2 + b y 1 2
Mostre o resultado afirmado em 10.4 . 2 e use este fato para dar exemplos de formas bilineares simétricas B : R 5 × R 5 → R .
Se A é uma forma bilinear simétrica e Q a forma quadrática associada a ela, mostre que: A v , w = 1 4 Q v + w - 1 4 Q ( v - w )