Enunciado

127. Três hastes são soldadas juntas para formar uma “cantoneira” sustentada por três parafusos de olhal. Desprezando o atrito, determine as reações em A , B e C

Quando P = 1.000   N , a = 300   m m , b = 200   m m e c = 250   m m .

Passo 1

Para determinar o que o enunciado pede, teremos que analisar a equação de equilíbrio referente ao momento, onde teremos que calcular os momentos na forma vetorial, pois vai facilitar a nossa análise.

Iremos calcular da seguinte maneira:

M 0 = r → × F → = i j k r x r y r z F x F y F z

Onde:

r x ,   r y   e   r z representam as coordenadas do vetor que vai da origem da rotação até o ponto de aplicação da força;

F x ,   F y   e   F z são as componentes da força F aplicada.

Então teremos o seguinte:

∑ M 0 → = 0

r O A → × A → + r O B → × B → + r O C → × C → = 0

Nesse problema os parafusos de olhal vão produzir duas forças perpendiculares.

Em A teremos A y e A z , em B teremos B x e B z e em C teremos C x e C y .

Nesse problema também teremos que usar a equação de equilíbrio referente a força na forma vetorial, da seguinte maneira:

∑ F → = 0

A → + B → + C → + P → = 0

Passo 2

Abrindo a equação presente no passo 1 referente ao momento, temos:

r O A → × A → + r O B → × B → + r O C → × C → = 0

i j k 0,3 0 0 z 0 A y A z + i j k 0 0,2 0 B x 0 B z + i j k 0 0 0,25 C x C y 0 = 0

⇒ 0 i - 0,3 A z j + 0,3 A y k + 0,2 B z i - 0 j + - 0,2 B x k +

+ - 0,25 C y i - - 0,25 C x j + 0 k = 0

⇒ 0,2 B z - 0,25 C y i + - 0,3 A z + 0,25 C x j + 0,3 A y - 0,2 B x k = 0

Então ficamos com:

0,2 B z - 0,25 C y = 0

- 0,3 A z + 0,25 C x = 0

0,3 A y - 0,2 B x = 0

Passo 3

Agora, vamos analisar a equação de equilíbrio referente a força.

A → + B → + C → + P → = 0

⇒ 0 i + A y j + A z k + B x i + 0 j + B z k + C x i + C y j + 0 k + 0 i - 1000 j + 0 k = 0

⇒ B x + C x i + A y + C y - 1000 j + A z + B z k = 0

Então ficamos com:

B x + C x = 0

A y + C y - 1000 = 0

A z + B z = 0

Passo 4

Então de toda nossa análise, ficamos com:

0,2 B z - 0,25 C y = 0     ( 1 )

- 0,3 A z + 0,25 C x = 0     ( 2 )

0,3 A y - 0,2 B x = 0     ( 3 )

B x + C x = 0     ( 4 )

A y + C y - 1000 = 0     ( 5 )

A z + B z = 0     ( 6 )

Então temos que resolver essas equações para achar o que queremos, então vamos lá.

Isolando C x na equação ( 4 ) e substituindo em ( 2 ) , ficamos com:

- 0,3 A z + 0,25 - B x = 0

⇒ B x = - 1,2 A z     ( 7 )

Substituindo ( 7 ) em ( 6 ) :

- B x 1,2 + B z = 0

B z = B x 1,2     8

Substituindo ( 8 ) em ( 1 ) :

0,2 B x 1,2 - 0,25 C y = 0    

⇒ C y = 0,2 0,3 B x     9

Substituindo ( 9 ) em ( 3 ) :

0,3 A y - 0,2 0,3 0,2 C y = 0

⇒ C y = A y     ( 10 )

Substituindo ( 10 ) em ( 5 ) :

A y + A y - 1000 = 0

⇒ A y = 500   N     ( 11 )

Logo:

C y = 500   N

Substituindo ( 11 ) em ( 3 ) :

0,3 ( 500 ) - 0,2 B x = 0

⇒ B x = 750   N

Pela equação ( 4 ) , temos:

C x = - 750   N

Substituindo C x na equação ( 2 ) :

- 0,3 A z + 0,25 ( - 750 ) = 0

⇒ A z = - 625   N

Logo, pela equação ( 6 ) :

B z = 625   N

Resposta

A → = ( 0 i + 500 j - 625 k )

B → = ( 750 i + 0 j + 625 k )

C → = ( - 750 i + 500 j + 0 k )

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