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135- Calcule o momento M aplicado ao cilindro inferior do par, ambos com 20   k g , que permitirá que eles rolem para baixo lentamente. Os coeficientes de atrito estático e dinâmico para todas as superfícies de contato são μ s = 0.60 e μ k = 0.50 .

Passo 1

Mesmo tendo um momento M indo para o sentido horário a roda desce, isso é o momento M tende a parar o sistema, isso é fica no quase.

Vamos fazer o sistema de forças desse sistema, sabendo que existem forças de atrito entre os discos e entre o disco e o plano inclinado.

Porém não temos como dizer qual dessas forças de atrito tem coeficiente μ s e μ k então inicialmente vamos dizer que o piso tem coeficiente de atrito no chão vale μ 1 e nos discos é μ 2 .

Logo F 1 = N 1 μ 1 , F 3 = N 3 μ 1 e F 2 = N 2 μ 2 .

Passo 2

A somatória das forças verticais no disco 1 vale:

- m g c o s   15 + N 1 - F 2 = 0

E as horizontais no disco 1:

F 1 - m g sin ⁡ 15 - N 2 = 0

E a somatória dos momentos no disco 1 vale (sentido horário positivo):

M - F 1 r + F 2 r = 0

M = F 1 - F 2 r

Passo 3

Agora fazendo a somatória das forças verticais no disco 2 nós teremos:

F 2 + N 3 - m g cos ⁡ 15 = 0

Agora as horizontais:

N 2 + F 3 - m g sin ⁡ 15 = 0

Agora a somatória dos momentos nos dá:

F 2 r - F 3 r = 0 → F 2 = F 3

Passo 4

Muitas equações, muitas incógnitas, poucas certezas... vamos organizar as coisas um pouco:

Do primeiro disco temos:

N 1 - F 2 = m g cos ⁡ 15     ( 1 )

F 1 - N 2 = m g sin ⁡ 15   ( 2 )

M = F 1 - F 2 r

Pro segundo disco:

F 2 + N 3 = m g cos ⁡ 15   ( 3 )

N 2 + F 3 = m g sin ⁡ 15

F 2 = F 3

Logo:

N 2 + F 2 = m g sin ⁡ 15   ( 4 )

Onde:

F 1 = μ 1 N 1 ( 5 )

F 2 = N 2 μ 2 = F 3 = N 3 μ 1 ( 6 )

N 3 = N 2 μ 2 μ 1 ( 7 )

Juntando ( 1 ) com ( 6 ) :

N 1 - N 2 μ 2 = m g cos ⁡ 15   ( 1 a )

Juntando ( 5 ) com ( 2 ) :

μ 1 N 1 - N 2 = m g sin ⁡ 15 ( 1 b )

Juntando ( 3 ) com ( 6 ) :

N 2 μ 2 + N 3 = m g c o s   15 ( 1 c )

Juntando ( 4 ) com ( 6 ) :

N 2 + N 2 μ 2 = m g sin ⁡ 15 ( 1 d )

Da equação ( 1 d ) temos:

N 2 = m g sin ⁡ 15 1 + μ 2

Da equação ( 1 c ) temos:

N 3 = m g cos ⁡ 15 - N 2 μ 2

Da equação ( 1 a ) podemos escrever:

N 1 = N 2 μ 2 + m g cos ⁡ 15

Da equação ( 1 b ) podemos escrever:

N 1 = N 2 μ 1 + m g μ 1 sin ⁡ 15

Substituindo os valores de massa e gravidade nós encontramos os seguintes valores para as normais:

N 2 = 50.78 1 + μ 2

N 3 = 189.51 - 50.78 μ 2 1 + μ 2

Agora igualando N 1 temos:

50.78 μ 1 ( 1 + μ 2 ) + 50.78 μ 1 = 50.78 1 + μ 2 μ 1 + 189.51

50.78 + 50.78 1 + μ 2 = 50.78 μ 1 + 189.51 μ 1 1 + μ 2

101.56 + 50.78 μ 2 = 50.78 μ 1 + 189.51 μ 1 + 189.51 μ 1 μ 2

101.56 + 50.78 μ 2 = μ 1 ( 240.29 + 189.51 μ 2 )

μ 1 = 101.56 + 50.78 μ 2 240.29 + 189.51 μ 2

Tanto faz se colocarmos μ 2 valendo 0.5 ou 0.6 o resultado de μ 1 valerá um número menor a 0.40 , então vamos assumir que μ 2   vale 0.5 e assumir que o sistema escorrega por ele.

Passo 5

Com essa suposição temos que:

N 2 = 33.85   N

F 2 = F 3 = 16.93   N

N 3 = 172.6   N

F 1 = 84.63   N

N 1 = 206.4   N

Somente são válidas as últimas expressões encontradas para N 2 , N 1   e N 3 .

Como as forças F 1 e F 3 são menores que 0.6 × N 1 e 0.6 × N 3 respectivamente então a suposição está certa. Os discos não deslizam na superfície, o que faz com que o momento M seja.

M = F 1 - F 2 r = 84.63 - 16.93 × 150 × 10 - 3 = 10.155   N m

Resposta

M = 10.155   N m

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