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6.30. A treliça de dois membros está sujeita à força de 1,5   k N . Determine a faixa de θ para aplicação da carga de modo que a força em qualquer membro não exceda 2   k N   ( T ) ou 1   k N   C .

Passo 1

Vamos analisar o ponto A para resolver o exercício.

O sistema está em equilíbrio, então

F R x = 0

F R x = 1,5 ⋅ cos ⁡ θ + F A C + F A B ⋅ cos ⁡ α = 0

Nós podemos determinar α através do triângulo formado pela figura

A B 2 = 0,9 2 + 1,2 2

A B = 1,5   m

cos ⁡ α = 1,2 1,5

Então

1,5 ⋅ cos ⁡ θ + F A C + F A B ⋅ 1,2 1,5 = 0

Agora faremos para o eixo y

F R y = 0

F R y = - 1,5 ⋅ sin ⁡ θ + F A B ⋅ sin ⁡ α = 0

Então

- 1,5 ⋅ sin ⁡ θ + F A B ⋅ 0,9 1,5 = 0

Passo 2

Agora podemos deixar tudo em termos de θ

- 1,5 ⋅ sin ⁡ θ + F A B ⋅ 0,9 1,5 = 0

Então

F A B = 1,5 ⋅ sin ⁡ θ ⋅ 1,5 0,9 = 2,5 ⋅ sin ⁡ θ

E isso nos dá

1,5 ⋅ cos ⁡ θ + F A C + F A B ⋅ 1,2 1,5 = 0

1,5 ⋅ cos ⁡ θ + F A C + 2,5 ⋅ sin ⁡ θ ⋅ 1,2 1,5 = 0

Isolando F A C

F A C = - 1,5 ⋅ cos ⁡ θ - 2 ⋅ sin ⁡ θ

Passo 3

Agora que temos as forças em função de θ podemos colocar as condições que o exercício pede, a força não pode ter mais de 2   k N   ( T ) ou mais de 1   k N   ( C )

Então para F B A temos

- 1 ≤ F A B ≤ 2

- 1 ≤ 2,5 ⋅ sin ⁡ θ ≤ 2

Isso nos dá que

θ m a x = > sin ⁡ θ = 2 2,5

E para F A C

- 1 ≤ - 1,5 ⋅ cos ⁡ θ - 2 ⋅ sin ⁡ θ ≤ 2

Ou

- 2 ≤ 1,5 ⋅ cos ⁡ θ + 2 ⋅ sin ⁡ θ ≤ 1

Para θ m a x

1,5 ⋅ cos ⁡ θ m a x + 2 ⋅ 2 2,5 = 1

Então

θ m a x = c o s - 1 - 0,6 1,5 = 113,58 °

Passo 4

Agora para θ m i n temos que para F A B

θ m i n = > 2,5 ⋅ sin ⁡ θ = - 1

Então

sin ⁡ θ m i n = - 1 2,5

Logo para F A C

1,5 ⋅ cos ⁡ θ m i n + 2 ⋅ - 1 2,5 = - 2

Então

θ m i n = c o s - 1 - 2 + 2 ⋅ 1 2,5 1,5 = 143,13 °

Passo 5

Como podemos ver o limite por essas imagens

Se sobrepormos os valores possíveis de θ temos

127 ° ≤ θ ≤ 196 °

336 ° ≤ θ ≤ 347 °

Resposta

127 ° ≤ θ ≤ 196 °

336 ° ≤ θ ≤ 347 °

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