Enunciado

A barra AB é de latão ( E = 105   G P a   e   α = 20,9   .   10 - 6   ° C - 1 ) e a barra CD de alumínio ( E = 70   G P a   e   α = 23,6   .   10 - 6   ° C - 1 ). Sabendo-se que a 16°C a fenda existente entre as extremidades das barras é de 0,5 m m , determinar:

  1. A tensão normal em cada barra, depois que a temperatura for aumentada para 80 ° C ;
  2. A deformação da barra AB nesse instante.

Passo 1

Sabemos que as barras iram aquecer e deverão vencer os vãos que elas fazem parte, e irão começar a se pressionar, com isso, elas produziram forças que deveremos calcular.

∑ F v = 0 = F A - F D

F A = F D

Mas agora precisamos de uma equação de compatibilidade para podermos resolver o nosso problema. Perceba que a deformação total entre os pontos A e D tem que ser igual a distância entre as barras, que nesse caso é 0,5mm no somatório de deformações, e que teremos deformações devido a temperatura e devido aos normais que aparecem nas paredes, dessa forma teremos que:

δ A B + δ T A B + δ C D + δ T C D = 0,5

Em que:

δ A B = N A B L A B E A B A A B

δ C D = N C D L C D E C D A C D

δ T A B = L A B ∆ T α A B

δ T C D = L C D ∆ T α C D

E sabemos que os dados do enunciado são dados por:

L A B = 250 m m

L C D = 250 m m

A A B = A C D = π D 2 4 = π 75 2 4 = 4417,9   m m 2

∆ T = 80 ° - 16 ° = 64 °

E A B = 105   G P a = 105 k N m m 2

E C D = 70   G P a = 70 k N m m 2

α A B = 20,9   .   10 - 6 1 C °

α C D = 23,6   .   10 - 6 1 C °

E agora só precisamos determinar os normais relacionados com as forças que queremos descobrir.

Passo 2

Usando o nosso diagrama teremos que:

  • Trecho AB
  • Sendo assim teremos que:

    F A + N A B = 0

    N A B = - F A

  • Trecho BC

Sendo assim teremos que:

F A + N C D = 0

N C D = - F A

Substituindo na nossa fórmula teremos que:

δ A B + δ T A B + δ C D + δ T C D = 0,5

N A B L A B E A B A A B + L A B ∆ T α A B + N C D L C D E C D A C D + L C D ∆ T α C D = 0,5

- F A   .     250 105   .     4417,9 + 250   .     64   .   20,9   .     10 - 6 + - F A   .     250 70   .     4417,9 + 250   .     64   .     23,6   .   10 - 6 = 0,5

- F A   .   5,39   .   10 - 4 + 0,334 - F A   .   8,08   .   10 - 4 + 0,3776 = 0,5

13,47   .     10 - 4   .     F A = 0,212

F A = F C = 157,4   k N

Passo 3

Se temos a força podemos definir as tensões normais, que é a força dividido pela área da seção, sendo assim teremos que:

  1. Barra AB e CD terão a mesma tensão por terem a mesma área

σ A B = C D = N A B A A B = - F A A A B = - 157,4 4417,9   k N m m 2 = - 0,0356 G P a = - 35,6   M P a

E sabemos que para determinar a deformação ada barra AB precisamos fazer o seguinte:

δ A B = δ T A B - δ C D

δ A B = L A B ∆ T α A B - N A B L A B E A B A A B

δ A B = 250   .   64   .     20,9   .     10 - 6 - 157,4   .     250 105   .     4417,9 = 0,250 m m = 250   μ m

Resposta

  1. σ A B = C D = - 35,6   M P a
  2. δ A B = 250   μ m

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