Enunciado

Ver Outros Exercícios
desse livro

Um cabo flexível com 60 metros de comprimento, com uma massa de 0,160   k g por metro de comprimento, está enrolado em volta do tambor. Com y = 0 , o peso do cilindro de 4   k g é necessário para iniciar a rotação do tambor e superar o atrito em seus mancais. Determine a aceleração descendente a , em metros por segundo ao quadrado, do cilindro em função de y , em metros. O tambor vazio possui uma massa de 16   k g com um raio de giração em relação ao seu mancal de 200   m m .

Passo 1

Já que o tambor tem uma massa m = 16   k g e um raio de giração k 0 = 0,200   m , podemos calcular o seu momento de inércia:

I 0 t a m = m k 0 2 = 16 0,200 2 = 0,64   k g ∙ m 2

E o momento de inércia do cabo vai depender do comprimento y que está “pendurado”:

I O c a b o = m r 2 = m 0,300 2

E a massa é dada por m = ρ ( 60 - y ) :

I O = 0,160 60 - y 0,300 2 = 0,0144 60 - y

E a força que o peso desse cabo exerce sobre o rolo também depende desse comprimento y :

P = m g = ρ y g

P = 0,16 9,81 y = 1,5696 y

Passo 2

Em seguida queremos calcular a aceleração a com que o cilindro desce. Para isso precisamos escrever uma equação dinâmica.

∑ M O = I O α + ∑ m a r

O primeiro somatório corresponde aos momentos externos agindo sobre o sistema:

∑ M O = P r = 1,5696 y 0,300

O primeiro termo do lado esquerda é o momento de inércia total do sistema em relação ao ponto O , multiplicaod pela aceleração angular do tambor:

I 0 α = 0,64 + 0,0144 60 - y α

E a aceleração angular α pode ser escrita em função de a :

I 0 α = 0,64 + 0,0144 60 - y a 0,300

O último termo corresponde aos momentos das forças resultantes agindo sobre a corda e sobre o cilindro:

∑ m a r = m c o r d a + m c i l i n d r o a 0,300

∑ m a r = ( 0,16 y + 4 ) ( 0,300 a )

E então:

∑ M O = 0,64 + 0,0144 60 - y a 0,300 + ( 0,16 y + 4 ) ( 0,300 a )

∑ M O = 1,504 - 0,0144 y a 0,300 + 0,048 y + 1,2 a

∑ M O = 6,213   a

1,5696 y 0,300 = 6,213   a

a = 0,0758   y

Onde o fator 0,0758 está em s - 2 :

a = 0,0758 s 2 y

Resposta

A aceleração descendente é a = 0,0758   s - 2   y .

Exercícios de Livros Relacionados

Um aluno está descendo de skate uma rampa de 6,0 m de comprimento e in
Uma pessoa cujo peso é 5,20 10 2 N está sendo puxada para cima vertica
Calcule a integral. ∫     x e 2 x 1 + 2 x 2   d x
1. Verifique que a função dada é diferenciável.b) f x , y = x 4 + y 3
Calcule o centroide da área a seguir em termos das variáveis dos raios