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O carro A parte do repouso em t = 0   e move-se ao longo de uma estrada reta com uma aceleração constante de 2   m / s 2 até alcançar uma velocidade de 27   m / s . Depois disso, ele mantém essa velocidade. Quando t = 0 , o carro B , localizado 2000 m distante na estrada, está se movendo na direção de A com uma velocidade constante de 20   m / s . Determine a distância percorrida pelo carro A quando eles passam um pelo outro.

Passo 1

Fala galerinha, tudo certinho?

Neste problema, estamos encarando ambos carros como pontos materiais.

Cada um dos carros possuirá uma equação própria para descrever o seu movimento.

No caso, estamos frente a um problema com aceleração constante para o carro A! Então, podemos usar as nossas formulas para a velocidade e a posição:

v = v 0 + a t

s = s 0 + v 0 t + 1 2 a t 2

O truque consiste em escrever a equação do movimento para ambos carros e a seguir igualar os s de ambos.

Passo 2

O carro A parte do repouso com uma aceleração de 2   m / s 2 até alcançar uma velocidade de 27   m / s . Depois disso, ele MANTÉM essa velocidade.

Assim podemos dividir o comportamento do carro de A em duas partes:

- Aceleração do zero; e

- Velocidade constante

Para a primeira parte, temos s 0 = 0 , v 0 = 0 e a = 2   m / s 2 . Assim, a equação para a velocidade do carro fica

v = v 0 + a t = 0 + 2 t  

Agora perguntamos: após quanto tempo que ele alcançará v = 27   m / s ? Basta substituir acima! O resultado é

t a c e l e r a ç ã o , A = v 2 = 13,5   s

Após este tempo, o carrão se move com v = 27   m / s reto toda vida.

Agora, para descrever a posição do carro nesta nova fase, podemos utilizar a fórmula

s = s 0 + v 0 t v e l o c i d a d e , A + 1 2 a t 2 ⏟ = 0

Mas quem é v 0 neste caso? É o próprio 27   m / s !

Mas, e quem é s 0 neste caso? É a distância que o carro A percorreu enquanto ainda estava acelerando! Ela é dada por s 0 = 1 2 a t 2 (a partir de s = s 0 + v 0 t + 1 2 a t 2 ), ou seja

s 0 = 1 2 2 t a c e l e r a ç ã o , A 2 = 1 2 2 13,5 2 = 182,25   m

Por último, note que t v e l o c i d a d e , A = t - t a c e l e r a ç ã o , A = t - 13,5 .

Recapitulando, a equação do movimento do carro A ficou a seguinte:

s A = 182,25 + 27 t - 13,5

Passo 3

Agora, para descrever o movimento do carro B é muito mais fácil! Ele nem aceleração tem, só uma velocidade constante!

A equação apropriada para este caso é

s = s 0 + v 0 t + 1 2 a t 2 ⏟ = 0

Aqui, devemos ter o cuidado de notar que v 0 = - 20   m / s (negativo, pois o carro vai pra esquerda) e s 0 = 2000 .

Assim, a equação para o carro B fica:

s B = 2000 - 20 t

Passo 4

Agora, quando que os carros se encontram mesmo? Quando as suas posições ficam iguais!

s A = s B

Dai,

182,25 + 27 t - 13,5 = 2000 - 20 t

182,25 + 27 t - 364,5 = 2000 - 20 t

47 t = 2182

t = 2182 47 =

Resolvendo para t , obtemos t = 46,43   s .

Substituindo na equação para A , a distância percorrida fica

s A = 182,25 + 27 t - 13,5 = 182,25 + 27 ⋅ 46,43 - 13,5 = 1071   m

A gente pode conferir por B, e ver se as duas posições batem (tem que bater!)

s B = 2000 - 20 × 46,43 = 1071 m

Resposta

s A = s B = 1071   m

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