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A coluna de aço A- 36 tem área de seção transversal de 11250   mm 2 e está revestida em concreto de alta resistência, como mostra a figura. Se uma força axial de 300   kN for aplicada à coluna, determine a tensão de compressão média no concreto e no aço. Até que distância a coluna se encurta? Seu comprimento original é de 2,4   m .

Passo 1

Uma coluna com interior de aço e revestida com concreto de alta resistência é comprimida por uma força de 300   kN .

Características da coluna:

  • Aço A-36: E a ç o = 200   GPa   .   (Tabelado)
  • Concreto de alta resistência: E c o n c = 29   GPa   .   (Tabelado)
  • Comprimento inicial: L = 2,4   m .
  • Área da parte de aço: A a ç o = 11250   mm 2 .
  • Área da parte de concreto: A c o n c = 400   mm ⋅ 225   mm - A a ç o = 78750   mm 2 .

O conjunto todo (aço e concreto) é comprimido pelos 300   kN !

Queremos a tensão de compressão σ a ç o gerada no aço e a tensão σ c o n c gerada no concreto. Fórmula da tensão:

σ = F A

Temos as áreas, então nos falta achar as forças F a ç o e F c o n c !

A questão também pede que calculemos o quanto a coluna é encurtada: δ .

Passo 2

Só tem uma direção nesse problema. Vamos ver o equilíbrio de forças, lembrando que toda a coluna está resistindo à compressão de 300   kN .

∑ F = 0           →         F a ç o + F c o n c = 300   kN

Duas incógnitas, mas apenas uma equação. Vamos precisar de outra!

Passo 3

Vamos montar uma condição de compatibilidade. O carregamento vai comprimir a coluna. A parte de aço e o revestimento de concreto irão reduzir o mesmo comprimento!

δ a ç o =   δ c o n c

Use a fórmula da relação carga-deslocamento:

δ = F   L A   E

F a ç o L A a ç o   E a ç o = F c o n c   L A c o n c   E c o n c

Pronto, agora se substituirmos os valores, vamos achar uma relação entre F a ç o e F c o n c !

F a ç o = 0,9852 F c o n c

Passo 4

Substitua F a ç o = 0,9852 F c o n c na equação que veio do balanço de forças:

F a ç o + F c o n c = 300   kN           →         F c o n c =   300   kN 1,9852 = 151,12   kN

Agora usando F a ç o = 0,9852 F c o n c a gente acha a força no aço:

F a ç o = 148,88   kN

Passo 5

Quase lá! Para acharmos as tensões como a questão pede, é só dividir as forças pelas áreas.

σ = F A           →         σ c o n c =   151,12   kN 78750   mm = 1,92   MPa

σ a ç o =   148,88   kN 11250   mm = 13,23   MPa

Passo 6

E pra fechar, é só calcular o deslocamento com a relação carga-deslocamento. Qualquer força serve porque δ a ç o = δ c o n c .

δ = δ c o n c = F c o n c   L A c o n c   E c o n c           →         δ =   151,12   kN ⋅ 2,4   m 78750   mm 2 ⋅ 29   GPa

δ = 0,15881   mm

Resposta

Tensão no aço: σ a ç o = 13,23   MPa .

Tensão no concreto: σ c o n c = 1,92   MPa .

Deslocamento: δ = 0,15881   mm .

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