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Determine o alongamento da tira de alumínio quando submetida a uma força axial de 30   k N .   E a l   =   70   G P a .

Passo 1

Faaaala, querido! Cê tá bem?

Então, ele quer saber o alongamento δ   dessa tira por causa de uma força axial P . Normalmente quando a gente quer alongamento devido a uma força, a gente usa essa fórmulinha:

δ = P L E A

Só que A , que é a área transversal da peça, é constante apenas no meio. Nas extremidades ela varia, porque a tira vai se afinando, sabe?

Então a gente vai dividir nossa peça em duas. A primeira parte é esse meio que tem A constante. Aí δ 1 vai ser dado pela fórmula acima.

E as extremidades? Cara, como elas como elas estão com A variando, vamos precisar uma fórmulinha diferenciada para δ 2 . Essa aqui:

δ = ∫ 0 L P E A d x

Ou seja, se A varia, ela é uma função. Então a gente usa uma integral! Percebe que as fórmulas são parecidas. A diferença é que em vez de multiplicar o termo P / E A por L , a gente integral ele de 0 a L . Bora então ver como usar essas fórmulinhas!

Passo 2

Então, vamos começar por δ 1 :

δ 1 = P L 1 E a l A 1

A é a área retangular da parte central da tira, dada por:

A 1 = 50   m m 6   m m = 300   m m 2

Substituindo esse valor e o outros dados:

δ 1 = 30   k N 800   m m 70   G P a 300   m m 2

δ 1 = 1 , 14   m m

Passo 3

Agora vamos olhar para as extremidades. Percebe que elas são simétricas em relação ao meio da tira. Então a deformação de uma ponta é igual a deformação da outra ponta.

Então o que a gente vai fazer calcular a deformação de uma ponta e multiplicar por 2, ok?

Aí vimos que nossa área varia né? Então a primeira coisa a fazer é achar uma função que descreve essa variação. Percebe que só a altura da área transversal varia, a largura permanece b = 6   m m . Então vamos achar uma função para a altura h x dessa tira na extremidade.

Vamos colocar um eixo x começando na ponta esquerda da tira

Em x = 0 , temos h = 15   m m , e em x = 250   m m , temos h = 50   m m . A mudança de altura é linear (porque temos esse formato composto por retas), então vamos usar a expressão de função linear e os nossos dados, e achar h x :

h x = a x + b

Para x = 0 e h = 15   m m :

0 + b = 15   m m → b = 15   m m

Para x = 250   m m , h = 50   m m e b = 15   m m :

a 250 + 15 = 50 → a = 7 50

Logo, nossa função fica:

h x = 7 50 x + 15

Passo 4

A gente já tem a função altura. Para achar a função área A x , a gente multiplica a altura pela largura b = 6   m m :

A = b × h x

A = 6 7 50 x + 15

Aí usamos a nossa fórmulinha do alongamento:

δ 2 = 2 ∫ 0 L P E A d x

Lembra que esse 2 é porque estamos usando a simetria da peça, porque as deformações nas extremidades serão iguais porque elas são iguais. Substituindo nossos dados:

δ 2 = 2 ∫ 0 250   m m 30   k N 70 G P a 6 7 50 x + 15 d x

Percebe que a gente integrou de 0 a 250   m m , porque nossa peça está nesse intervalo de x (considerando o eixo x que a gente escolheu.

Passo 5

Vamos tirar o que é constante da integral:

δ 2 = 2 30   k N 6 70 G P a ∫ 0 250   m m 1 7 50 x + 15 d x

Fazendo uma substituição do tipo u = 7 50 x + 15 , podemos resolver essa integral:

δ 2 = 2 30   k N 6 70 G P a 8 , 59980   m m / m m 2

Calculando:

δ 2 = 1 , 22854   m m

Logo, o alongamento total da tira é:

δ = δ 1 + δ 2

δ = 1 , 14   m m + 1 , 22854   m m

δ = 2 , 36 9   m m

Resposta

δ = 2 , 36 9   m m

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