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Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Estática Volume 1 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige - Capítulo 3.4 - Ex. 78

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Determine os módulos da força R → e do momento M → exercidos em O pela porca e pelo parafuso sobre o suporte carregado, de forma a manter o equilíbrio.

Passo 1

Vamos começar analisando as forças resultantes. A ideia é atingir o equilíbrio em todos os eixos:

∑ F x = ∑ F y = ∑ F z = 0

Precisamos escrever expressões para cada um desses termos (por enquanto desconsiderando a força exercida pela porca):

∑ F x = 1,6 cos ⁡ 50 ° = 1,03   k N

∑ F y = 2,4 cos ⁡ 30 ° - 1,6 sen ⁡ 50 ° = 0,853   k N

∑ F z = - 2,4 sen ⁡ 30 ° = - 1,2   k N

E a ideia é que a força R → exercida pela porca equilibre perfeitamente essas três. Como só queremos o módulo R , é só fazer a seguinte conta:

R → = - ∑ F x   i ^ - ∑ F y   j ^ - ∑ F z   k ^

R → = 1,03 2 + 0,853 2 + 1,2 2 = 1,79   k N

Passo 2

Agora vamos seguir a mesma lógica para o equilíbrio dos momentos, temos que analisar o momento total em relação a cada um dos eixos (Mas atenção, vamos usar um sistema paralelo ao que está desenhado, mas que tem origem no ponto O )

Quais forças favorecem a rotação em torno desse eixo x ? A componente y da força de 2,4   k N (a outra componente cruza o eixo x ) e a componente y da força de 1,6   k N (a outra é paralela ao eixo x ):

∑ M x = 2,4 cos ⁡ 30 ° 0,15 - 1,6 sen ⁡ 50 ° 0,20 + 0,15 = - 0,117   k N m

Agora seguimos a mesma lógica para os outros eixos:

∑ M y = - 1,6 cos ⁡ 50 ° 0,20 + 0,15 = - 0,360   k N m

Já que a força de 2,4   k N cruza a origem O , e a outra componente da força de 1,6   k N é paralela a y .

∑ M z = - 1,6 sen ⁡ 50 ° 0,20 = - 0,245   k N m

Esses são os momentos em relação aos três eixos sem considerar o momento fornecido pela porca.

E como a ideia é que o momento fornecido pela porca anule perfeitamente esses três, só precisamos inverter os sinais:

M → = - ∑ M x i ^ - ∑ M y   j ^ - ∑ M z   k ^

M → = 0,117   i ^ + 0,360   j ^ + 0,245   k ^

E o módulo do momento é:

M = 0,117 2 + 0,360 2 + 0,245 2 = 0,451   k N m

Resposta

O módulo da força é R = 1,79   k N e o momento é M = 0,451   k N   m .

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