Enunciado

Determine o valor de θ correspondente para a posição de equilíbrio da haste do problema 10.12, quando l = 750   m m , a = 125   m m , P = 112   N e Q = 180   N .

Passo 1

Primeiro vamos relembrar o problema 12. Onde a haste delgada AB é presa a um colar A e repousa sobre uma pequena roda em C. Desconsidere o raio da roda e o efeito do atrito.

Certo, já sabemos como é o comportamento da haste. Assim, só basta derivamos uma expressão para a magnitude da força Q necessária par manter o equilíbrio da haste. Assim, basta substituirmos os valores e teremos nossa resposta.

Passo 2

Achou um pouco complicado? Vamos destrinchar!

Observe na figura da questão que existe um triângulo Δ A A ' C , e temos o ângulo θ entre a hipotenusa A C e o cateto A A ' . Desse modo, por trigonometria, temos:

tan ⁡ θ = A ' C a

Tome:

y a =   - ( A ' C )

Então:

y a =   - a*tan ⁡ θ

Derivamos y a , teremos:

d y a =   - a * sec 2 ⁡ θ * d θ

Vamos guardar essa equação por enquanto!

Passo 3

Observe agora o triângulo Δ C C ' B . Note que o ângulo entre a hipotenusa C B e o cateto C C ' é θ . Pois os triângulos Δ A A ' C e Δ C C ' B são semelhantes.

Então, podemos dizer que, olhando para o triângulo que engloba os dois:

sin ⁡ θ = A ' C + C ' B l

Logo,

C ' B = l s i n   θ - A ' C

Do passo anterior, podemos obter:

C ' B = l s i n   θ - atan ⁡ θ

Tome,

y B = C ' B

Então,

y b =   l s i n   θ - atan ⁡ θ  

Derivamos essa função, obtemos:

d y b = l c o s   θ - asec 2 ⁡ θ d θ

Passo 4

Sabemos que, o trabalho virtual é 0. Ou seja,

d U = 0

E como,

d U = - ( Q d y a + P d y b )

Temos:

Q d y a + P d y b = 0

Logo,

Q * a * sec 2 ⁡ θ * d θ - P l c o s   θ - asec 2 ⁡ θ d θ = 0

Isolando, teremos:

Q a cos 2 ⁡ θ = P l c o s   θ - a cos 2 ⁡ θ

Q = P l a cos 3 ⁡ θ - 1

Passo 5

Pronto! Obtemos a função, agora só substituir os valores. Sabemos que, l = 750   m m , a = 125   m m , P = 112   N e Q = 180   N .

180 = 112 750 125 cos 3 ⁡ θ - 1

cos 3 ⁡ θ = 0.4345

Portanto,

θ = 40.8 °

Resposta

θ = 40.8 °

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Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. P Q → + Q R → R P → + P S → Q S → - P S → R S → + S P → + P Q →