Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige - Capítulo 8.5 - Ex. 110

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O eixo de rotação da plataforma giratória está inclinado em um ângulo α a partir da vertical. A haste da plataforma é livremente articulada nos mancais que não são mostrados. Se um pequeno bloco de massa m é colocado a uma distancia r a partir do ponto O, determine a frequência natural ω n para pequenas oscilações rotacionais através do ângulo θ . O momento de inércia de massa da plataforma giratória em relação ao eixo de sua haste é I.

Passo 1

Bom pessoal, nessa questão o que é mais complicado é enxergar o que está acontecendo e associar isso ao método de energia. Vamos então por partes:

Como sabemos, em um movimento harmônico simples, a energia é um balanço entre a energia cinética e a energia potencial, como mostra a equação:

E = T + V

Como o sistema é conservativo, a energia total E é uma constante. Além disso, nós temos que quando a energia cinética é máxima, a energia potencial é nula, e vice versa. Veja só:

Q u a n d o   T → m a x ,   e n t ã o   V = 0   e   E = T

Q u a n d o   V → m a x ,   e n t ã o   T = 0   e   E = V

Consideramos que a energia cinética é máxima no instante inicial do sistema, isto é, θ = 0 . Então, quando:

θ = 0   → V = 0

Agora, vamos voltar para a equação do movimento harmônico e escrever de uma maneira mais completa de acordo com a questão.

E = T + V

Onde a energia cinética é composta pela energia cinética rotacional 1 2 I θ ˙ 2 e pela energia cinética de translação 1 2 m r θ ˙ 2 .

A energia potencial neste caso é apenas gravitacional e pode ser escrita por:

V = m g r 1 - c o s θ s e n α

Bom, o c o s θ aparece pelo fato de a massa está “subindo”, o que faz aumentar sua energia potencial. Além disso, vemos que para θ = 0 → V = 0 , o que atende o que foi considerado acima. A parte do s e n α é pelo fato da componente da altura deslocada. Veja o diagrama.

Beleza!! Agora vamos substituir os valores:

E = 1 2 I θ ˙ 2 + 1 2 m r θ ˙ 2 + m g r 1 - c o s θ s e n α

Como d E d t = 0 :

I θ ˙ θ ¨ + m r 2 θ ˙ θ ¨ + m g r s e n α θ ˙ s e n θ = 0

Para ângulos muito pequenos, vale a aproximação:

s e n θ = θ

Portanto:

I θ ˙ θ ¨ + m r 2 θ ˙ θ ¨ + θ m g r s e n α = 0

Arrumando a equação para o termo a segunda ficar com o coeficiente unitário, temos:

θ ¨ + m g r s e n α I + m r 2 θ = 0

Agora temos uma equação nos moldes da equação do movimento harmônico. Com isto, sabemos a frequência natural:

ω n = m g r s e n α I + m r 2

Resposta

ω n = m g r s e n α I + m r 2

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