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Uma força F = 500   N mantém a caixa de 200   k g em equilíbrio. Determine as coordenadas ( 0 ,   y ,   z ) do ponto A se a tração nos cabos A C e A B é de 3500   N em cada um.

Passo 1

Fala!

Para determinar as coordenadas do ponto A , o que deve ser feito primeiramente é o diagrama de corpo livre no qual serão representadas as forças envolvidas. Então, vamos fazer uma mudança e usar o ponto A como origem do nosso eixo de coordenadas. (aqui é para facilitar as contas, tá? 😉)

Podemos perceber que o ponto C está mais alto do que o ponto A , tal que a distância entre eles no eixo z será a altura do ponto C   menos a altura de A :

z A C = 1,2 - z m

A mesma coisa se aplica a distância entre o ponto B e A (visto que C e B estão na mesma altura). A seguinte figura mostra essa informação destacada em azul, no sistema de coordenadas antigo:

Em seguida, o equilíbrio de forças deve ser analisado nas três dimensões x ,   y   e   z , pelo fato de as forças estarem atuando em todos esses três sentidos.

Assim, será possível escrever as equações de equilíbrio e representar algumas das forças em função das coordenadas a serem determinadas.

Tem-se que a caixa exerce uma força peso para baixo que tem intensidade de W = 200 × 9,81 = 1962   N .

Bora!

Passo 2

É possível denotarmos o peso W na forma vetorial. Tem-se que a caixa exerce uma força peso para baixo que tem intensidade de P c a i x a = 1962   N . De forma vetorial nós temos:

P = - 1962   k

Também é possível denotar as forças F A B , F A C e F na forma vetorial. O que a gente precisa fazer é achar um vetor unitário na direção e sentido da força, e multiplicar a intensidade da nossa força por ele.

Percebe que para a AB, um vetor no sentido da força seria o que sai de A e vai para B. Podemos acha-lo pela diferença entre essas coordenadas desses pontos. Fazendo final menos inicial:

u A B = B - A = - 1.5 , - y   , 1.2 - z - 0,0 , 0 = - 1.5 , - y   , 1.2 - z

Repara que usamos o novo sistema de coordenadas. Aí para achar o vetor unitário só dividir esse cara pelo módulo dele. Nossa força em forma vetorial fica:

F A B → = F A B - 1,5 i - y j + 1,2 - z k - 1,5 2 + - y 2 + 1,2 - z 2 = 3500 - 1,5 i - y j + 1,2 - z k - 1,5 2 + - y 2 + 1,2 - z 2

Assim:

F A B x = - 5250 - 1,5 2 + - y 2 + 1,2 - z 2 F A B y = - - 3500 y - 1,5 2 + - y 2 + 1,2 - z 2 F A B z = 3500 1,2 - z - 1,5 2 + - y 2 + 1,2 - z 2

Podemos fazer algo parecido para A C :

u A C = C - A = 1.5 , - y   , 1.2 - z - 0,0 , 0 = 1.5 , - y   , 1.2 - z

F A C → = F A C 1,5 i - y j + 1,2 - z k 1,5 2 + - y 2 + 1,2 - z 2 = 3500 1,5 i - y j + 1,2 - z k 1,5 2 + - y 2 + 1,2 - z 2

Tal que:

F A C x = 5250 1,5 2 + - y 2 + 1,2 - z 2 F A C y = - - 3500 y 1,5 2 + - y 2 + 1,2 - z 2 F A C z = 3500 1,2 - z 1,5 2 + - y 2 + 1,2 - z 2

Como F está paralelo a y , já podemos escrever:

F = F y = 500 j

Passo 3

O equilíbrio requer quer que o somatório de forças em cada dimensão seja nulo, ou seja:

∑ F = 0 → F A B + F A C + W + F + 0

∑ F x = 0 ;           ∑ F y = 0 ;           ∑ F z = 0

Adotando o sentido dos eixos mostrado no desenho do enunciado:

∑ F x = 0

3500 - 1,5 2,25 + y 2 + 1,2 - z 2 + 3500 1,5 2,25 + y 2 + 1,2 - z 2 = 0   ( 1 )

∑ F y = 0

3500 - y 2,25 + y 2 + 1,2 - z 2 + 3500 - y 2,25 + y 2 + 1,2 - z 2 + 500 = 0   ( 2 )

∑ F z = 0

3500 1,2 - z - 1,5 2 + - y 2 + 1,2 - z 2 + 3500 1,2 - z - 1,5 2 + - y 2 + 1,2 - z 2 - 1962 = 0   3

No entanto, rearrumando as equações 2 e 3 :

7000 y = 500 2,25 + y 2 + 1,2 - z 2   ( 3 )

E:

7000 1,2 - z = 1962 2,25 + y 2 + 1,2 - z 2   ( 4 )

Passo 4

Se a gente dividir a equação 3 pela 4, podemos escrever a seguinte relação:

y 1,2 - z = 500 1962

⇒ 1962 y = 600 - 500 z

Se dividirmos tudo por 500 e isolarmos a variável z :

z = 1,2 - 3,924 y   ( 5 )

Esse valor de z pode ser substituído na equação 3 , tal que teremos:

7000 y = 500 2,25 + y 2 + 1,2 - 1,2 - 3,924 y 2

Ou seja:

7000 y = 500 2,25 + y 2 + 3,924 y 2

Elevando ambos os lados da equação ao quadrado:

7000 y 2 = 500 2 2,25 + y 2 + 3,924 y 2

Logo:

196 y 2 = 2,25 + 16,40 y 2 → 180,60 y 2 = 2,25

Resolvendo e escolhendo a solução postiva (já que é uma distância):

∴ y = 0,112   m

E, então, voltando para a equação 5 para substituirmos o valor de y :

z = 0,761   m

Resposta

y = 0,112   m

z = 0,761   m

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