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Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Estática Volume 1 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige - Capítulo 6.9 - Ex. 104

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Um momento no sentido anti-horário M = 150   N ⋅ m é aplicado ao rotor. Se o coeficiente de atrito entre a fita e o rotor vale 0,20, calcule a força mínima P necessária para impedir a roda de girar.

Passo 1

Para que a roda não gire, o momento total em torno do centro deve ser zero. O momento é causado pelas trações em cada lado e pelo torque M = 150   N ⋅ m alicado no rotor. Além disso, deve ser satisfeita a equação de equilíbrio da corda:

ln ⁡ T 2 T 1 = μ β

Sendo T 2 e T 1 as trações maior e menor nas extremidades da corda, μ = 0,2 o coeficiente de atrito entre a corda a roda e β o ângulo total de contato da corda com a superfície, nesse caso igual a π , o ângulo de meia volta. Através do momento zero em torno do centro e do equilíbrio da corda, devemos ser capazes de achar as trações T 1 e T 2 na corda. Depois disso, acharemos P através das equações de equilíbrio da barra horizontal.

Passo 2

Primeiro vamos fazer ser zero o momento em torno do centro da roda. Como o torque aplicado no centro é anti-horário, para compensar a tração maior deve ser a da direita.

Então:

∑ M C = 0 ⇒ - T 2 0,225 + T 1 0,225 + 150 = 0

⇒ 0,225 T 2 = 0,225 T 1 + 150

Dividindo por 0,225:

T 2 = T 1 + 150 0,225 = T 1 + 500 3

Passo 3

Agora vamos aplicar a fórmula para o equilíbrio da corda:

ln ⁡ T 2 T 1 = μ β

⇒ ln ⁡ T 2 T 1 = 0,2 π

Passamos para a forma exponencial, e então substituímos o valor de T 2 :

T 2 T 1 = e 0,2 π ⇒ T 1 + 500 3 T 1 = e 0,2 π

⇒ T 1 + 500 3 = T 1 e 0,2 π

⇒ T 1 e 0,2 π - 1 = 500 3 ⇒ T 1 = 500 3 e 0,2 π - 1

Então achamos o valor de T 1 e T 2 :

T 1 = 146   N

T 2 = T 1 + 500 3 = 313   N

Passo 4

Então isolamos em diagrama de corpo livre a barra horizontal, e através do momento em torno de O achamos P :

∑ M O = 0 ⇒ - T 1 0,125 + T 2 0,325 - P 0,325 = 0

⇒ - 146 × 0,125 + 313 × 0,325 - 0,325 P = 0

⇒ - 18,25 + 101,725 - 0,325 P = 0

⇒ 0,325 P = 83,475

⇒ P = 257   N

Resposta

P = 257   N

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