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Uma pedra é lançada para baixo de uma encosta como mostrado. Determine o módulo u e a direção θ da sua velocidade inicial de modo que a pedra suba 12   m e ainda tenha um alcance de 50 metros para baixo da encosta.

Passo 1

Nosso objetivo é encontrar u e θ de forma que a pedra tem um certo alcance e uma altura máxima, então vamos escrever as expressões para essas duas grandezas.

Começando pela altura máxima H , que acontece quando a velocidade vertical da pedra se anula:

u 2 = u 0 2 + 2 a Δ s

Se u y é a componente vertical da velocidade u :

0 = u y 2 - ( 2 ) ( g ) ( 12 )

u y = 2 g 12

u y = 15,3   m / s

Passo 2

Agora vamos procurar uma expressão para o alcance. Vamos aproveitar que já temos a componente vertical para ver o tempo que o nosso trajeto dura.

Usando a proporção do triângulo 3 - 4 - 5 (conforme indicado na figura), a gente pode deduzir que a altura H da encosta e a largura L valem:

H = 30   m

L = 40   m

O movimento acaba quando a pedra bate no chão certo? Em outras palavras, se chamarmos a altura de onde a pedra é jogada de s = 0 , a altura quando ela bate no chão é s = - 30   m , então:

s = v 0 t + 1 2 a t 2

- 30 = u y t - 1 2 g t 2

E substituindo os valores achamos o seguinte:

- 30 = 15,3 t - 4,905 t 2

4,905 t 2 - 15,3 t - 30 = 0

E agora a gente pode resolver essa equação quadrática para saber o tempo do movimento:

t = 15,3 ± 15,3 2 - 4 4,905 - 30 4 4,905

E excluindo a solução negativa ficamos com:

t ≅ 4,49   s

Passo 3

Então beleza, nosso movimento necessariamente vai demorar 4,49   s , se a gente quer que ele percorra os 40   m na horizontal nesse tempo, qual tem que ser a componente horizontal da velocidade inicial?

Lembre-se de que nesse caso não existe aceleração na direção horizontal.

u x = 40 4,49 ≅ 8 , 90   m / s

Ótimo, agora já podemos calcular o módulo da velocidade u :

u = u x 2 + u y 2 = 17,7   m / s

E agora, como achar o ângulo θ ?

Passo 4

Muito cuidado aqui pessoal, não podemos dizer que u x = u cos ⁡ θ , porque θ , nesse caso, não é o ângulo que o vetor u faz com o eixo horizontal.

Precisamos fazer uma separação aqui:

Agora perceba que o θ 1 sim é o ângulo que u faz com o eixo horizontal, ou seja:

tan ⁡ θ 1 = u y u x = 15,3 8,9 = 1,72

θ 1 = arctan ⁡ ( 1,72 ) = 59,8 °

E o θ 2 ? Bom, olhando para a figura, é só fazer um pouco de geometria plana pra ver que ele é igual ao ângulo que a encosta faz com a horizontal, ou seja:

tan ⁡ θ 2 = H L = 30 40 = 0,75

θ 2 = arctan ⁡ ( 0,75 ) = 36,8 °

E agora é só lembrar que:

θ = θ 1 + θ 2 = 36,8 ° + 59,8 ° ≅ 96,6 °

Pronto!

Resposta

u = 17,7   m / s e θ = 96,6 ° .

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