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O tambor com diâmetro de 650   m m gira em torno de um eixo horizontal com uma velocidade angular constante Ω = 7,5   r a d / s . O pequeno bloco A não possui movimento em relação à superfície do tambor quando este passa pela posição no fundo em θ = 0 . Determine o coeficiente μ e de atrito estático entre o bloco e o tambor se for observado que o bloco desliza quando chega a (a) θ = 50 ° e (b) θ = 100 ° . Verifique no último caso se o contato é mantido até θ = 100 ° .

Passo 1

Vamos imaginar que o nosso bloco desliza assim que passa por um certo ângulo θ . Nesse caso o equilíbrio das forças está no limite.

Na direção normal vamos ter uma componente do peso e a própria força normal gerando uma resultante centrípeta:

∑ F n = m a n = m r ω 2

N - m g cos ⁡ θ = m r ω 2

E na direção tangencial temos a força de atrito competindo com a outra componente do peso, e nesse caso limite elas estão em equilíbrio:

∑ F t = 0

F a t - m g sen ⁡ θ = 0

N μ - m g sen ⁡ θ = 0

Passo 2

Então nosso sistema de equações é:

N - m g cos ⁡ θ = m r ω 2 N μ - m g sen ⁡ θ = 0

Da primeira equação podemos isolar o módulo da força normal:

N = m r ω 2 + g cos ⁡ θ

E substituindo isso na segunda:

m r ω 2 + g cos ⁡ θ μ - m g sen ⁡ θ = 0  

E agora vamos isolar o coeficiente de atrito:

μ = g sen ⁡ θ r ω 2 + g cos ⁡ θ  

Beleza, já temos uma fórmula que resolve os dois itens.

Passo 3

Agora é só substituir os valores numéricos para calcular.

(a) θ = 50 °

μ = 9,81 sen ⁡ 50 ° 0 , 325 7,5 2 + 9,81 ( cos ⁡ 50 ° )

μ = 0,305

(b) θ = 100 °

μ = 9,81 sen ⁡ 10 0 ° 0 , 325 7,5 2 + 9,81 ( cos ⁡ 10 0 ° )

μ = 0,583

Passo 4

E para saber se o bloco mantém o contato até θ = 100 ° precisamos olhar para a primeira equação, porque a perda de contato acontece na direção normal:

N - m g cos ⁡ θ = m r ω 2

Se o contato se perde a força normal se torna nula, então o contato vai existir enquanto N > 0 :

m r ω 2 - g c o s θ > 0

r ω 2 > g cos ⁡ θ

cos ⁡ θ < r ω 2 g ≅ 1,86

Enquanto essa condição for satisfeita o bloco se mantém em contato, como é impossível que o cosseno seja maior do que 1 , podemos garantir que isso acontece para qualquer valor de θ .

Resposta

(a) μ = 0,305 , (b) μ = 0,583 . O bloco mantém contato com o tambor para qualquer valor de θ .

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