Exercícios Resolvidos de Medidas de Centralidade e Dispersão para V.A. Contínua

PUCRIO, Probabilidade e Estatísitica, P1 - 2012.1, Questão 4

A renda de uma pessoa numa população é uma variável aleatória contínua X com densidade f x x = c x + 1 , apenas para X 0,2 .

  1. Ache a constante " c " que faz f x uma densidade.
  2. Encontre a função de distribuição acumulada de X .
  3. Calcule a mediana da distribuição de X .

Passo 1

(a)

Mais uma vez, calcular essas constantes. Muito tranquilo, pra uma v.a. contínua, é só integrar a função em todo seu domínio que o resultado tem que ser 1 .

0 2 c x + 1   d x = 1

= c x 2 2 + x 0 2

= 4 c 2 + 2

= 2 c + 2

Isso tem que ser igual a 1 .

2 c + 2 = 1

2 c = - 1

c = - 1 2

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Passo 2

(b)

Função de distribuição acumulada para x < 0 , vai ser 0 , já que x só é definido a partir de zero.

Para x > 2 , a FDA será F x = 1 , porque já terá acumulado todo o domínio da função, então tem que ser 1 .

Para o intervalo de definição de x , a gente integra...

0 x - 1 2 x + 1   d x

= - x 2 4 + x 0 x

= - x 2 4 + x

Temos então:

F x = 0 ,     s e   x < 0 - x 2 4 + x ,     s e   0 < x < 2               1 ,     s e   x > 2

Passo 3

(c)

A mediana é o valor que divide a distribuição no meio, ou seja, 50 % dos valores estão abaixo dele e o resto acima.

Pra descobrir a mediana é só a gente usar a nossa F D A e igualar ela a 50 % , aí encontraremos o valor do x .

- x 2 4 + x = 0,5

x 2 - 4 x + 2 = 0

Passo 4

Vamos resolver essa equação e achar as raízes.

Δ = 4 2 - 4 × 1 × 2

= 16 - 8

= 8

x = 4 ± 8 2

Temos duas raízes possíveis.

x 1 = 4 + 8 2 3,14

x 2 = 4 - 8 2 0,586

Só que a primeira raiz é maior do que 2 , ou seja, tá fora do intervalo e não serve pra gente.

Com isso, nossa resposta final será:

M e d 0,586

Já que esse valor está dentro do intervalo 0,2 .

Resposta

a   c = - 1 2

b   F x = 0 ,     s e   x < 0 - x 2 4 + x ,     s e   0 < x < 2               1 ,     s e   x > 2

c   M e d 0,586

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