Exercícios Resolvidos de Medidas de Dispersão para V.A. Multidimensionais

PUCRIO-P2-2013.2-5

Sejam Equation e Equation v.a. contínuas com densidade conjunta:

Equation

Dados:

Marginal de Equation : Equation

Marginal de Equation : Equation

Pede-se:

  1. Densidade condicional de Equation dado Equation .
  2. Média condicional de Equation dado Equation , e calcule o valor quando Equation .
  3. Variância condicional de Equation dado Equation , e calcule o valor quando Equation .

Passo 1

(a)

Pra resolver cada um desses itens vai ser basicamente aplicar fórmula, então vamos lá.

Pra calcular a densidade condicional Equation , vamos aplicar:

Equation

Os dois já são dados do problema, só fazer conta.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos as contas...

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Tá bom por aí já.

Passo 3

(b)

Agora a fórmula é:

Equation

De Equation a Equation porque esses são os limites de Equation do enunciado.

Esse valor de dentro da integral foi o que a gente usou no item anterior.

Equation

Equation

Passo 4

Vamos integrar...

Equation

Equation

Equation

Equation

Não pode esquecer desse denominador aí que eu tinha tirado da integral. Vou simplificar.

Equation

Equation

Equation

Passo 5

Agora podemos calcular pra quando Equation

Equation

Equation

Passo 6

(c)

A fórmula vai ser:

Equation

Guarda isso.. vamos fazer parte por parte... o segundo valor ali que a gente precisa, a gente tem do item anterior. Vamos calcular então pela fórmula, o primeiro.

Equation

Bem parecido com o item anterior, só que é ao quadrado ali...

Fica assim:

Equation

Passo 7

Vamos resolver a integral...

Equation

Equation

Vamos guardar essa parte de fora e focar na integral...

Equation

Equation

Equation

Juntando tudo:

Equation

Equation

Simplificando por dois..

Equation

Passo 8

Agora joga tudo naquela primeira fórmula lá:

Equation

Equation

Vou fazer uma parada pros denominadores ficarem iguais... vou dividir toda a galera da primeira parte por Equation e geral da segunda por Equation .

Equation

Agora fica melhor de simplificar, porque fica mais fácil juntar as coisas..

Equation

Abrindo tudo...

Equation

Equation

É isso aí.

Passo 9

Pra fechar só substituir Equation nesse monstro aí.

Equation

Resposta

Equation

Equation

Equation

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