Exercícios Resolvidos de Método da Variação dos Parâmetros

UNICAMP, Cálculo 3, P1 - 2017.2 - Matutino, Questão 3

Considere a seguinte EDO de 2 ª ordem y = y ( x ) ,

d 2 y d x 2 - x + 2 x d y d x + x + 2 x 2 y = x x + 2

( a ) Encontre a solução geral da equação homogênea associada, sabendo que y 1 = x é uma solução da equação homogênea. (Dica: Dado uma EDO y ' ' + p x y ' + q x y = 0 , o teorema de Abel fornece uma maneira de calcular y 2 pela fórmula explícita para o Wronskiano y 1 y 2 ' - y 1 ' y 2 = e - p x d x ).

( b ) Usando o método da variação dos parâmetros, determine a solução particular da equação não homogênea.

Passo 1

( a )

Lembra como é a cara da solução da homogênea associada? Dadas duas soluções da EDO, temos que:

y h = c 1 y 1 + c 2 y 2

Bom, se ele te deu uma dica, vamos usá-la! Pelo Teorema de Abel:

y 1 y 2 ' - y 1 ' y 2 = e - p x d x

Sendo que y 1 foi dado. Aquele p ( x ) nós vamos descobrir colocando a EDO na forma

y ' ' + p x y ' + q x y = 0

Isso quer dizer que o cara que acompanha o y ' ' tem que ser o 1 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Nossa EDO é a seguinte:

d 2 y d x 2 - x + 2 x d y d x + x + 2 x 2 y = x x + 2

O caso homogêneo associado é:

d 2 y d x 2 - x + 2 x d y d x + x + 2 x 2 y = 0

y ' ' - x + 2 x y ' + x + 2 x 2 y = 0

Daqui, tiramos que:

p x = - x + 2 x

Passo 3

Vamos começar a usar o Teorema de Abel:

y 1 y 2 ' - y 1 ' y 2 = e - p x d x

Sabemos que:

y 1 = x

y 1 = 1

Substituindo as informações:

x y 2 ' - y 2 = e - - x + 2 x d x

x y 2 ' - y 2 = e x + 2 x d x

Resolvendo aquela integral no numerador:

x + 2 x d x = 1 + 2 x d x = x + 2 l n | x |

Não precisamos nos preocupar com as constantes por agora.

x y 2 ' - y 2 = e x + 2 ln x

x y 2 ' - y 2 = e x e 2 ln x

x y 2 ' - y 2 = e x x 2

Passo 4

Maneiro! Temos que resolver uma EDO para encontrar y 2 . Arrumando os termos:

y 2 ' - 1 x y 2 = e x x

Repara que ela é uma EDO linear! A solução é do tipo:

y 2 = 1 I x B x I x d x + C

Onde

I x = e A x d x

Identificando cada termo:

A x = - 1 x B x = e x x

Calculando:

I x = e - 1 x d x = e - ln x = e ln x - 1

I x = 1 x

Falta só o último termo:

B x I x d x = e x x 1 x d x = e x d x = e x

Passo 5

Show! Substituindo:

y 2 = 1 1 x e x + C

y 2 = x e x + C

y 2 = x e x + C x = x ( e x + C )

Passo 6

Vamos finalmente montar nossa solução homogênea:

y h = c 1 y 1 + c 2 y 2

Onde c 1 e c 2 são constantes.

y h = c 1 x + c 2 x e x + C = c 2 x e x + C + c 1

Como temos produtos e somas de constantes, podemos substituir tudo isso por uma constante só (não tem problema dar os mesmos nomes):

y h = c 1 x + c 2 x e x

Passo 7

( b )

Vamos relembrar o passo a passo do método da variação dos parâmetros:

  1. Arruma a EDO para ficar com a cara: y ' ' x + p y ' x + q y x = B ( x )
  2. Resolver a EDO como se fosse homogênea – solução homogênea: y h x ,caso o problema não forneça a solução da homogênea.
  3. Identificar y 1 ( x ) e y 2 ( x )
  4. Encontrar a cara da solução particular y p x = y 1 x . f 1 x + y 2 x . f 2 ( x )
  5. Calcular y 1 ' x e y 2 ' x
  6. Calcular M = y 1 ' y 2 ' y 1 y 2 = y 1 ' x . y 2 x - y 2 ' x y 1 x
  7. Calcule
  8. f 1 x = y 2 x . B x M d x

    f 2 x = - y 1 x . B x M d x

  9. Encontrar solução geral: y x = y h x + y p x
  10. Substituir condições iniciais caso exista

A gente já fez os três primeiros passos! Agora vamos focar nos próximos:

y p x = y 1 x . f 1 x + y 2 x . f 2 ( x )

Passo 8

Seguindo exatamente esses passos temos:

Colocando a equação na forma: y ' ' x + p y ' x + q y x = B ( x )

Temos:

y ' ' - x + 2 x y ' + x + 2 x 2 y = x ( x + 2 )

p x = - x + 2 x

q x = x + 2 x 2

B x = x x + 2

Passo 9

Nós já fornecemos a solução da homogênea. Temos então:

y 1 = x  

    y 2 = x e x

Passo 10

A solução particular será:

y p x = f 1 x x + f 2 x x e x

Passo 11

Calculando :

y 1 ' = 1

y 2 ' = x e x + e x

Passo 12

Calculando M temos:

M = y 1 ' x . y 2 x - y 2 ' x y 1 x

M = 1 x e x - ( ( x e x + e x ) x )

M = - x 2 e x

Passo 13

Calculando:

f 1 x = y 2 x . B x M d x

Temos:

f 1 x = x e x x x + 2 - x 2 e x d x

f 1 x = - ( x + 2 ) d x

f 1 x = - x 2 2 - 2 x

Calculando :

f 2 x = - y 1 x . B x M d x

f 2 x = - x . x ( x + 2 ) - x 2 e x d x

f 2 x = x + 2 e - x d x = x e - x + 2 e - x d x = x e - x d x + 2 e - x d x

Vamos fazer uma integração por partes na primeira integral:

u d v = u v - v d u

u = x

d u = d x

d v = e - x d x

v = - e - x

Substituindo:

x e - x d x = - x e - x - - e - x d x = - x e - x + e - x d x = - x e - x - e - x

f 2 x = x e - x d x + 2 e - x d x

f 2 x = - x e - x - e - x - 2 e - x

f 2 x = - x e - x - 3 e - x

Logo:

y p x = f 1 x x + f 2 x x e x

y p x = - x 2 2 - 2 x x + - x e - x - 3 e - x x e x

y p x = - x 3 2 - 2 x 2 - x 2 - 3 x = - x 3 2 - 3 x 2 - 3 x

Resposta

a   y h = c 1 x + c 2 x e x

b   y p = - x 3 2 - 3 x 2 - 3 x

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