Exercícios Resolvidos de Método de Euler Aperfeiçoado

Lista 7 – Professora Luziane – UFRJ – Questão 2 Adaptada

Dado o P V I : y ' = 4 - 2 x ,   y 0 = 2 . Considere h = 0.25 e h = 0.1 .

a Encontre uma aproximação para y 0.5 usando o método de Euler Aperfeiçoado para cada h .

b Compare seus resultados com a solução exata dada por y x = - x 2 + 4 x + 2 .

Passo 1

a Temos o seguinte:

y ' = 4 - 2 x

y 0 = 2

x 0 = 0

E com passo h = 0.25 teremos o seguinte:

Aplicando a formuleta:

y n + 1 = y n + h 2 f x n , y n k 1 n + f x n + 1 , y n + h f x n , y n k 2 n

Iteração 1 x = 0.25 :

k 1 0 = f x 0 , y 0 = 4 - 2 x 0 = 4

k 2 0 = f x 1 , y 0 + h k 1 0 = 4 - 2 x 1 = 3.5

y 1 = y 0 + h 2 k 1 0 + k 2 0 = 2.9375

Iteração 2 x = 0.5 :

k 1 1 = f x 1 , y 1 = 4 - 2 x 1 = 3.5

k 2 1 = f x 2 , y 1 + h k 1 1 = 4 - 2 x 2 = 3.0

y 2 = y 1 + h 2 k 1 1 + k 2 1 = 3.75

Logo, temos y 0.5 3.75

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora com h = 0.1 :

Iteração 1 x = 0.1 :

k 1 0 = f x 0 , y 0 = 4 - 2 x 0 = 4

k 2 0 = f x 1 , y 0 + h k 1 0 = 4 - 2 x 1 = 3.8

y 1 = y 0 + h 2 k 1 0 + k 2 0 = 2.39

Iteração 2 x = 0.2 :

k 1 1 = f x 1 , y 1 = 4 - 2 x 1 = 3.8

k 2 1 = f x 2 , y 1 + h k 1 1 = 4 - 2 x 2 = 3.6

y 2 = y 1 + h 2 k 1 1 + k 2 1 = 2.76

Iteração 3 x = 0.3 :

k 1 2 = f x 2 , y 2 = 4 - 2 x 2 = 3.6

k 2 2 = f x 3 , y 2 + h k 1 2 = 4 - 2 x 3 = 3.4

y 3 = y 2 + h 2 k 1 2 + k 2 2 = 3.11

Iteração 4 x = 0.4 :

k 1 3 = f x 3 , y 3 = 4 - 2 x 3 = 3.4

k 2 3 = f x 4 , y 3 + h k 1 3 = 4 - 2 x 4 = 3.2

y 4 = y 3 + h 2 k 1 3 + k 2 3 = 3.44

Iteração 5 x = 0.5 :

k 1 4 = f x 4 , y 4 = 4 - 2 x 4 = 3.2

k 2 4 = f x 5 , y 4 + h k 1 4 = 4 - 2 x 5 = 3

y 5 = y 4 + h 2 k 1 4 + k 2 4 = 3.75

E nossa aproximação aqui vai ficar:

y 0.5 3.75

Passo 3

A solução exata é:

y x = - x 2 + 4 x + 2

y 0.5 = 3.75

Como podemos ver, ambas as nossas aproximações bateram com o valor exato da função naquele ponto. Isso pode ser explicado pela fórmula do erro! Temos:

E x = h 2 3 ! y ' ' ' ξ x

Como nossa função y x é de segundo grau, sua derivada terceira é zero! Logo, o erro será zero independente do h escolhido.

Resposta

Para h = 0.25 , y 0.5 3.75 .

Para h = 0.1 , y 0.5 3.75 .

O valor exato da função é y 0.5 = 3.75 . Logo, nossas aproximações bateram com o valor exato. Ver explicação acima.

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