Exercícios Resolvidos de Método de Newton-Raphson

Lista 2 – UFRJ – Professor Daniel – Questão 8

O valor de Equation pode ser obtido através da resolução das seguintes equações: Equation e Equation . Aplique o Método de Newton-Raphson com Equation e precisão Equation em cada caso e compare os resultados. Explique a diferença no número de iterações realizadas para atingir a precisão.

Passo 1

Cálculos Iniciais

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Iteração Equation :

Equation

Critério de Parada:

Equation

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

Equation

Equation

Iteração Equation :

Equation

Critério de Parada:

Equation

Alcançamos nosso critério de parada. Então Equation .

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Passo 2

Cálculos Iniciais

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Iteração Equation :

Equation

Critério de Parada:

Equation

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

Equation

Equation

Iteração Equation :

Equation

Critério de Parada:

Equation

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

Equation

Equation

Iteração Equation :

Equation

Critério de Parada:

Equation

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

Equation

Equation

Iteração Equation :

Equation

Critério de Parada:

Equation

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

Equation

Equation

Iteração Equation :

Equation

Critério de Parada:

Equation

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

Equation

Equation

Iteração Equation :

Equation

Critério de Parada:

Equation

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

Equation

Equation

Iteração Equation :

Equation

Critério de Parada:

Equation

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

Equation

Equation

Iteração Equation :

Equation

Critério de Parada:

Equation

Alcançamos nosso critério de parada. Então Equation .

Passo 3

Po, na primeira tivemos que fazer só Equation iterações e na segunda Equation ! E não só isso, com aquelas Equation iterações conseguimos uma precisão MUITO maior do que com as Equation da segunda função. Por que isso? Cara, se liga, praticamente sempre que esse método demorar muito (tipo Equation iterações haha) é por causa daquele história da derivada!

Para Equation , temos Equation . No zero da função temos Equation , bem longe de zero.

Já para Equation , temos Equation . No zero da função temos Equation . E taí o motivo de demorar bem mais usando essa função ;)

Resposta

Equation : Equation ; Equation iterações.

Equation : Equation ; 8 iterações.

Na primeira função nós não só precisamos de bem menos iterações como também conseguimos uma precisão muito maior.

Isso acontece porque para a primeira função nós temos Equation . Já para a segunda nós temos Equation . O fato de a derivada valer Equation na raiz da equação dificulta o método, fazendo com que ele precise de um número maior de iterações para obter uma precisão inferior.

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