Exercícios Resolvidos de Método de Redução de Ordem

UNICAMP - Cálculo 3 - P1 2011 Tarde – 3

Considere a equação diferencial:

x 2 y ' ' - 6 y = 0 ,     x > 0

Dado que y 1 x = x 3 é uma solução da equação, use o método de redução de ordem para determinar uma segunda solução da forma y 2 x = v x y 1 ( x ) .

Passo 1

Bem bem, ele já deu a ordem, como temos uma solução, o método da redução de ordem permite você encontrar uma solução a partir de outra, vamos fazer o seguinte chute y 2 x = v x y 1 ( x ) , assim o chute é y 2 x = v x x 3 .

Precisamos derivar esse cara:

y 2 ' x = v ' x x 3 + 3 v x x 2

y 2 ' ' x = v ' ' x x 3 + 3 v ' x x 2 + 3 v ' x x 2 + 6 v x x

y 2 ' ' = v ' ' x 3 + 6 v ' x 2 + 6 v x

Eu tirei esses “ ( x ) ”, que mostra a dependência da função em x , mas só está implícito, assim facilita as contas.

Substituindo isso na EDO:

x 2 v ' ' x 3 + 6 v ' x 2 + 6 v x - 6 v x 3 = 0

Arrumando:

v ' ' x 5 + 6 v ' x 4 = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Opa, como só temos derivadas para v na EDO, podemos fazer a substituição z = v ' z ' = v ' ' :

z ' x 5 + 6 z x 4 = 0

Dividindo tudo por x 5 :

z ' + 6 z x - 1 = 0

Jogando o termo 6 z x - 1 para o lado direito:

z ' = - 6 z x - 1

Sabemos que z ' = d z d x , substituindo e separando a EDO:

d z z = - 6 x - 1 d x

Integrando de ambos os lados:

d z z = - 6 x - 1 d x

As integrais são diretas!

ln | z | = - 6 ln x + c = ln x - 6 + c

Usando o paranauê chamando c = ln K e usando a regra da soma de dois logaritmos de mesma base:

ln | z | = ln x - 6 + ln K = ln K x - 6

Isso só acontece se os termos dentro do logaritmo forem iguais:

z = k x - 6

Vou tratar k = 1 que é o caso mais simples(A resposta é a combinação linear das duas soluções, então não tem porque ter constante nessa fase, assim você pode desconsiderar, as constantes aparecerão quando você for mostrar a solução geral, mas se quiser pode continuar com essa constante, vai dar no mesmo)

z = x - 6

Sabemos que z = v ' , substituindo:

| v ' | = x - 6

Para facilitar, vou supor o seguinte:

v ' > 0

Logo:

v ' = x - 6

Assim fica:

d v = x - 6 d x v = - 1 5 x - 5

Então a solução de y 2 ( x ) é:

y 2 x = - 1 5 x - 5 . x 3 = - 1 5 x - 2

Passo 3

Então a solução geral é dada por:

y x = c 1 y 1 x + c 2 y 2 ( x ) Substituindo:

y x = c 1 x 3 + c 2 x - 2

“E as constantes????? Calma calma, foi a mesma coisa que eu fiz com o k anteriormente, a gente pode omitir elas sem problemas, ficam embutidas dentro de c 1 e c 2 e quando vocês forem substituir as condições iniciais e/ou de contorno, elas aparecerão sem nem você perceber!”

Resposta

y x = c 1 x 3 + c 2 x - 2

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas