Exercícios Resolvidos de Método de Redução de Ordem

Resolva a EDO fazendo a mudança de variável indicada

y ' ' = 2 x   y ' 2

u = y '

Passo 1

Para poder substituir, derivamos: y ' ' = u '

Show, substituindo vai ficar:

u ' = 2 x u 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Olhando para essa EDO agora, podemos rescrever: d u d x = 2 x u 2

Olha lá, conseguimos colocar tudo que é u de um lado e tudo que é x do outro, então temos uma EDO separável. Então, separando, vamos ter: d u u 2 = 2 x d x

Agora, para encontrar a solução, integramos dos dois lados:

∫ d u u 2 = ∫ 2 x d x

- 1 u = x 2 + C

Reorganizando, vamos ter:

u = - 1 x 2 + C

Passo 3

Legal, achamos u , vamos encontrar y agora. Pela definição, temos: u = y '

Então:

y ' = - 1 x 2 + C

Para achar, integramos novamente:

y = - ∫ 1 x 2 + C d x

Para integrar, definimos C = c 1 2 , ai teremos por integrais fundamentais: y = - ∫ 1 x 2 + c 1 2 d x = - 1 c 1 arctan ⁡ x c 1 + c 2

E essa é a solução final!

Resposta

y x = - 1 c 1 arctan ⁡ x c 1 + c 2

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